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阶段质量评估(二) 平面对量
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列量不是向量的是( )
A．力 B．速度
C．质量 D．加速度
解析：质量只有大小，没有方向，不是向量．
答案：C
2．已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( )
A．a·b＝1 B．a2＝b2
C．a∥b⇒a＝b D．a·b＝0
解析：由于a，b都是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.所以|a|2＝|b|2，即a2＝b2.
答案：B
3．(2022·新课标全国高考Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.
答案：A
4．(2022·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝( )
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
解析：由于a＝(1,2)，b＝(3,1)，于是b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，选B.
答案：B
5．已知向量a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析：cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：A
6．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2) B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2) D．a＝(－4，－8)
解析：∵＝(1,2)，∴a＝(－4，－8)＝－4(1,2)＝－4.∴D正确．
答案：D
7．已知a·b＝－12，|a|＝4，a与b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12 B．3
C．6 D．3
解析：－12＝|a|·|b|·cos 135°，且|a|＝4，故|b|＝6.
答案：C
8．(2022·重庆高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A．－ B．0
C．3 D.
解析：由于a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．
由于(2a－2b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.故选C.
答案：C
9．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
解析：由原式可得解得
∴x－y＝3.
答案：A
10．(2022·大纲全国高考)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－1.∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝0.∴b2＝2.∴|b|＝.故选B.
答案：B
11．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝( )
A．－ B.
C．2 D．－1
解析：由于a＝(1,2)，b＝(－3,0)，所以2a＋b＝(－1,4)，a－mb＝(1＋3m,2)．又由于(2a＋b)∥(a－mb)，所以(－1)×2＝4(1＋3m)．
解得m＝－.
答案：A
12．在△ABC中，AB边上的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a－b B.a－b
C.a－b D.a－b
解析：由于a·b＝0，所以⊥.所以AB＝＝.又由于CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC.所以＝.所以AD＝＝＝.所以＝＝＝(a－b)＝a－b.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上)
13．已知向量a＝(3，－2)，b＝(3m－1,4－m)，若a⊥b，则m的值为________．
解析：∵a⊥b，
∴a·b＝3(3m－1)＋(－2)(4－m)＝0.
∴m＝1.
答案：1
14．已知a＝(2,4)，b＝(－1，－3)，则|3a＋2b|＝______.
解析：3a＋2b＝3(2,4)＋2(－1，－3)
＝(6,12)＋(－2，－6)＝(4,6)，
所以|3a＋2b|＝＝2.
答案：2
15．(2022·北京高考)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
解析：利用共线向量求参数值．
∵λa＋b＝0，∴λa＝－b.
∴|λa|＝|－b|＝|b|＝＝.
∴|λ|·|a|＝.又|a|＝1，∴|λ|＝.
答案：
16．(2022·四川高考)平面对量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
解析：∵向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，
∴c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)．
∴a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8，
b·c＝4(m＋4)＋2(2m＋2)＝8m＋20.
∵c与a的夹角等于c与b的夹角，
∴＝，即＝.
∴＝，解得m＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(1)已知a＝(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标．
(2)若|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为120°，求|a＋b|的值．
解：(1)设与a垂直的单位向量为e＝(x，y)，
则
解得或
所以e＝或e＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2
＝a2＋2a·b＋b2
＝4＋2×2×1×cos 120°＋1＝3，
所以|a＋b|＝.
18．(本小题满分12分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB.
求证：AC⊥BC.
证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，设AD＝1，则A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,1)．
∴＝(－1,1)，＝(1,1)，
·＝－1×1＋1×1＝0.
∴BC⊥AC.
19．(本小题满分12分)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.
(1)求a，b的夹角θ；
(2)求|3a＋b|的值．
解：(1)由已知得(3a－2b)2＝7，
即9|a|2－12a·b＋4|b|2＝7，
又|a|＝1，|b|＝1，代入得a·b＝，
∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
∴向量a，b的夹角θ＝.
(2)由(1)知，(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2
＝9＋3＋1＝13.
∴|3a＋b|＝.
20．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面上的一组基底，a＝e1＋λe2，b＝－2λe1－e2.
(1)若a与b共线，求λ的值；
(2)若e1，e2是夹角为60°的单位向量，当λ≥0时，求a·b的最大值．
解：(1)∵a∥b，
∴存在实数μ，使得b＝μa.
∴解得λ＝±.
(2)∵e1，e2是夹角为60°的单位向量，
∴e1·e2＝.
∴a·b＝(e1＋λe2)·(－2λe1－e2)＝－λ2－3λ－.
在λ∈[0，＋∞)上是减函数，
∴λ＝0时，a·b取最大值－.
21．(本小题满分12分)已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标；
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
解：(1)设b＝(x，y)，
∵a∥b，∴y＝2x.①
又∵|b|＝2，∴x2＋y2＝20.②
由①②联立，解得x1＝2，y1＝4，x2＝－2，y2＝－4.
∴b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
又|a|＝，|c|＝，
解得a·c＝5，
∴cos θ＝＝.∵θ∈[0，π]，
∴a与c的夹角θ＝.
22．(本小题满分14分)已知向量a、b满足|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝|a－kb|，k＞0，k∈R.
(1)求a·b关于k的解析式f(k)；
(2)若a∥b，求实数k的值；
(3)求向量a与b夹角的最大值．
解：(1)由已知|k a＋b|＝|a－k b|，
有|k a＋b|2＝(|a－kb|)2，即
k2a2＋2k a·b＋b2 ＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
又∵|a|＝|b|＝1，得8k a·b＝2k2＋2，
∴a·b＝，即f(k)＝(k＞0)．
(2)∵a∥b，k＞0，
∴a·b＝＞0，则a与b同向．
∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝1.
即＝1，整理得k2－4k＋1＝0，
∴k＝2±.
∴当k＝2±时，a∥b.
(3)设a，b的夹角为θ，则
cos θ＝＝a·b
＝＝＝，
当＝，即k＝1时，cos θ取最小值.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
即向量a与b夹角的最大值为.
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