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双基限时练(二十三)
一、选择题
1．若x>1，y>1，且lgx＋lgy＝4，则lgx·lgy的最大值是( )
A．4 B．2
C．1 D.
解析 ∵x>1，y>1,4＝lgx＋lgy≥2，
∴(lgxlgy)max＝4.
答案 A
2．若a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( )
A．18 B．6
C．2 D．2
解析 3a＋3b≥2＝2＝6.
答案 B
3．设a>0，b>0，则下列不等式中不正确的一个是( )
A．a2＋b2≥2ab
B.＋≥2
C.＋≤
D.＋≥a＋b
解析 ∵a2＋b2≥2ab，(a＋b)2≥4ab，∴≥.
即＋≥，故C不正确．
答案 C
4．若直线2ax－by＋2＝0，(a>0，b>0)过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则ab的最大值是( )
A. B.
C．1 D．2
解析 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2)，由题可得－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，由a＋b≥2，知ab≤.
答案 A
5．已知m＝a＋(a>2)，n＝x2－2(x<0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．m<n
C．m＝n D．m≤n
解析 ∵m＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时等号成立)．
又x<0，∴x2－2>－2.∴0<x2－2<－2＝4，即n<4，∴m>n.
答案 A
6．给出下列四个命题：①若a<b，则a2<b2；②若a≥b>－1，则≥；③若正整数m和n满足m<n，则≤；④若x>0，且x≠1，则lnx＋≥2，其中真命题的序号是( )
A．①② B．②③
C．①④ D．②④
解析 当a＝－2，b＝1时，a<b，但a2>b2，故①不成立；对于④，当0<x<1时lnx<0，故④不成立；对于②，由于－＝＝.
∵a≥b>－1，∴－>0.故②正确；对于③，由于m(n－m)≤2(m<n且m、n为正整数)，当且仅当m＝n－m即m＝时等号成立，故③正确，故选B.
答案 B
二、填空题
7．已知a>0，b>0，则 与a＋b的大小关系为________．
解析 a2＋b2－(a＋b)2＝－2ab<0.
答案 <a＋b
8．当x>3时，x＋≥a恒成立，则a的最大值为_________．
解析 ∵x>3，∴x＋＝x－3＋＋3≥
2 ＋3＝5.当且仅当x－3＝，即x＝4时等号成立．∴由题可知a≤5.
答案 5
9．函数f(x)＝x＋＋2的值域为_________________________．
解析 当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥4，
当x<0时，x＋＋2＝－＋2≤－2＋2＝0.
答案 (－∞，0]∪[4，＋∞)
三、解答题
10．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，求xy的最大值．
解 ∵＋≥2 (x，y∈R＋)
∴1≥，故xy≤3.
∴xy的最大值为3.
11．已知a>0，b>0，c>0，d>0，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明 ∵a>0，b>0，c>0，d>0，
∴ab＋cd≥2，ac＋bd≥2.
∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
当且仅当a＝b＝c＝d时，“＝”成立．
12．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：＋＋>3.
证明 ＋＋
＝＋＋＋＋＋－3
＝＋＋－3.
∵a>0，b>0，c>0，
∴＋≥2，＋≥2，＋≥2.
又a，b，c不全相等，
∴＋＋＋＋＋－3>6－3＝3.
故原不等式成立．
思 维 探 究
13．已知a>b>c，且＋≥恒成立．求n的最大值．
解 ∵＋≥，a>b>c，
∴(a－c)≥n
又(a－c)＝(a－b＋b－c)＝2＋＋≥2＋2 ＝4.
(当且仅当a－b＝b－c即a＋c＝2b时等号成立)
由＋≥恒成立，得n≤4.
∴n的最大值为4.
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