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双基限时练(七) 映射与函数
基 础 强 化
1．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下列结论中正确的是( )
A．B是A中全部元素的象的集合
B．B中每一个元素在A中都有原象
C．B中每一个元素在A中有唯一的原象
D．A中每一个元素在B中必有象且唯一
解析 从集合A到集合B的映射中，集合B中的元素可以有剩余，也可以是多对一，故A、B、C均错．
答案 D
2．设函数f：x→x2是集合A到集合B的映射，假如B＝{1,2}，则A∩B等于( )
A．∅ B．{1}
C．∅或{2} D．∅或{1}
解析 集合A中的元素可以由－1，－，1，中的一个或多个元素构成，故A∩B＝∅或A∩B＝{1}．
答案 D
3．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是( )
解析 依据映射的定义，C选项不正确．
答案 C
4．设f：A→B是集合A到B的映射，其中A＝{x|x>0}，B＝R，且f：x→x2－2x－1，则A中元素1＋的象和B中元素－1的原象分别为( )
A.，0或2 B．0,2
C．0,0或2 D．0,0或
解析 x＝1＋时，x2－2x－1＝(1＋)2－2(1＋)－1＝0.
∴1＋的象为0.当x2－2x－1＝－1时，x＝0或2.
∵x>0，∴x＝2，即－1的原象是2.
答案 B
5．已知集合A＝，B＝，依据对应关系不能成为A到B的映射的一个是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x－2
C．f：x→y＝ D．f：x→y＝|x－2|
解析 依据B选项中的对应法则，集合A中在[0,2)中元素在集合B中没有元素与之对应，故B选项中的对应法则不是映射．
答案 B
6．已知a，b是两个不相等的实数，M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( )
A．1 B．4
C．3 D．2
解析 ∴a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，∴ a＋b＝4.故选B.
答案 B
7．设f，g都是由A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应法则如下表：
A
1
2
3
f：x→y
1
1
2
g：x→y
3
2
1
则f(g(3))的值等于________．
解析 g(3)＝1，∴f＝f(1)＝1.
答案 1
8．已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}．从A到B的对应法则分别是：
(1)f：x→y＝x；
(2)f：x→y＝x－2；
(3)f：x→y＝；
(4)f：x→y＝|x－2|.
其中能构成一一映射的是________．
解析 对于(2)中的对应法则，当x＝0时，对应的y＝－2，而－2∉B；对于(4)中的对应法则，当y＝2时，对应的x＝0或4，由于x的值不唯一，所以不符合一一映射的定义．只有(1)、(3)中的对应法则符合一一映射的定义．
答案 (1)(3)
能 力 提 升
9．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R.从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→，则经过两次映射A中元素1在C中的象为________．
解析 A中元素1在B中的象为1，B中元素1在C中的象为，故A中元素1在C中的象为.
答案
10．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，若对于实数a∈B，在集合A中不存在原象，求a的取值范围．
解 ∵y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
∴y≤1，即对于集合A中的任意一个元素在集合B中的象均小于等于1，
∴当a>1时，a在集合A中没有原象．
11．设映射f：A→B，其中A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应于B中元素(3x－2y＋1，4x＋3y－1)．
(1)求集合A中元素(3,4)的象；
(2)求集合B中元素(3,4)的原象；
(3)是否存在这样的元素(a，b)，使它的象仍是自己？若有，求出这个元素．
解 (1)由题意可得
∴(3,4)在B中的象为(2,23)．
(2)设(3,4)在A中的原象为(a，b)．
∴∴
∴B中元素(3,4)的原象为.
(3)设存在元素(a，b)，使它的象是它自己．
则∴
∴的象是它本身．
12．已知A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)．求满足条件的映射的个数．
解 (1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有一个映射；
(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.
(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.
因此满足条件中的映射共有7个．
品 味 高 考
13．给定从集合A到集合B的映射f：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，集合A、B都是平面直角坐标系内点的集合，则在该映射f下，集合A中对应到集合B中元素(3,1)的元素是________．
解析 由得
答案 (1,1)
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