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双基限时练(八)
1．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(－1)4＝1.
答案 A
2．设n为自然数，则C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2n
解析 由二项式定理知(2－1)n＝C2n－C2n－1＋C2n－2＋…＋C(－1)k2n－k＋…＋(－1)nC＝1n＝1.
答案 C
3．若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1＋a)3＋…＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b2a2＋…＋bnan，且b0＋b1＋b2＋…bn＝30，则自然数n的值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析 令a＝1，得b0＋b1＋b2＋…＋bn＝2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2，
又b0＋b1＋b2＋…＋bn＝30，
∴2n＋1－2＝30，解得n＝4.
答案 C
4．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．开放式中的二项式系数之和是1024
B．开放式的第6项的二项式系数最大
C．开放式的第5项或第7项的二项式系数最大
D．开放式中第6项的系数最小
解析 由二项式系数的性质知，C＋C＋C＋…＋C＝210＝1024.
∴A正确．
又二项式系数最大的项为C，是开放式的第6项．
∴B正确．
又由通项Tr＋1＝Ca10－r(－b)r＝(－1)rCa10－rbr知，第6项的系数－C最小．
∴D正确．
答案 C
5．若n∈N*，(＋1)n＝an＋bn(an，bn∈Z)，则bn的值( )
A．肯定是奇数 B．肯定是偶数
C．与n的奇偶性相反 D．与n的奇偶性相同
解析 取n＝1，n＝2，验证知A正确．
答案 A
6．设m为正整数，(x＋y)2m开放式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1开放式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 (x＋y)2m的开放式共有2m＋1项，其中最大的二项式系数为C，(x＋y)2m＋1的开放式中共2m＋2项，其中二项式系数最大的项为中间两项C＝C，依题意得a＝C，b＝C，由13a＝7b，得13C＝7C＝7(C＋C)，∴6C＝7C，即6C＝7·C，解得m＝6.
答案 B
7．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
… … … … … …
解析 由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
答案 2n－1
8．(x2－2x＋1)4的开放式中x7的系数是________．
解析 (x2－2x＋1)4＝[(x－1)2]4＝(x－1)8.由Tr＋1＝Cx8－r·(－1)r，当r＝1时，x7的系数为－C＝－8.
答案 －8
9．若(x2＋)n开放式的各项系数之和为32，则n＝________，其开放式中的常数项为________．(用数字作答)
解析 依题意得2n＝32，∴n＝5，
∵Tr＋1＝C(x2)5－r·()r＝Cx10－5r.
令10－5r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C＝10.
答案 5 10
10．已知6(k是正整数)的开放式中，常数项小于120，则k＝________.
解析 6开放式的通项Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝krCx12－3r，由12－3r＝0，得r＝4，
∴常数项为k4C.依题意，得Ck4<120，即k4<8.又k为正整数，∴k＝1.
答案 1
11．已知(1＋2)n的开放式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的，试求开放式中二项式系数最大的项．
解 设第k＋1项的系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的，即解得n＝7.
故二项式系数最大的项为
T4＝C·(2)3＝280x，或T5＝C(2)4＝560x2.
12．已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a20(x－1)20.
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值及a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
解 ∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a20(x－1)20，
令x－1＝t，则开放式化为
(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋…＋a20t20.
(1)a2＝C(－4)9＝－49×10.
(2)令t＝1，得
a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a20＝310，
令t＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a20＝310，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0
a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
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