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双基限时练(八)
1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不肯定平行
解析 可借见长方体找出反例．
答案 D
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BD异面且成60°角的面对角线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析 画图易知它们是AD1，AB1，CB1，CD1共四条．
答案 D
3．“a，b是异面直线”是指：
①a∩b＝∅，且aDb；②a⊂平面α，b⊂平面β，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④a⊂平面α，b⊄平面α；⑤不存在平面α，使a⊂α，且b⊂α成立．
上述说法中( )
A．①④⑤正确 B．①③④正确
C．②④正确 D．①⑤正确
解析 说法①等价于a与b既不相交，又不平行，所以a与b为异面直线．①正确；说法⑤等价于a与b不同在任何一个平面内，即a，b异面，⑤正确．
答案 D
4．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
答案 B
5．在空间，下列命题中正确的个数为( )
①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一条直线的两条直线平行；④有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①、②不正确，③、④正确．因此选B.
答案 B
6．下图是正方体的平面开放图，在这个正方体中，
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是( )
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③④
解析 把开放图还原为正方体，便知③、④正确．
答案 C
7．设a，b，c表示直线，给出以下四个论断：①a⊥b；②b⊥c；③a⊥c；④a∥c.以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题______________．
答案 ④①⇒②
8．如图所示，M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中BB1，B1C1的中点．
(1)则MN与CD1所成角为________．
(2)则MN与AD所成的角为________．
解析 (1)由图易知MN∥AD1，∵△ACD1构成正三角形．∴AD1与CD1成60°角，∴MN与CD1成60°角．
(2)AD1与AD成45°角，而MN∥AD1，∴MN与AD成45°角．
答案 (1)60° (2)45°
9．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：
①两条平行直线；②两条相互垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面结论中，正确结论的编号是________(写出全部正确结论的编号)．
解析 由正投影的定义可知，正确的结论是①④.
答案 ①④
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝，求AD，BC所成的角．
解 取BD的中点H，连接EH，FH，由于E是AB的中点，且AD＝2，∴EH∥AD，EH＝1.
同理FH∥BC，FH＝1，
∴∠EHF是异面直线AD，BC所成的角，又由于EF＝，
∴△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
∴∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.
11．如图，直线a，b是异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F是直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．
求证：(1)∠A′B′C′＝∠C′D′E′；
(2)点A′，B′，C′，D′，E′共面．
证明 (1)A′，B′是AD，DB的中点
⇒
∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边平行且方向相同⇒∠A′B′C′＝∠C′D′E′.
⇒平面α，β重合⇒A′、B′，C′，D′，E′共面．
12．已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则
(1)过P点与a和b所成角为45°的直线有几条？
(2)过P点与a和b所成角为60°的直线有几条？
(3)过P点与a和b所成角为70°的直线有几条？
解 (1)过P点在平面α外的左、右两侧存在两条直线与a1，b1所成的角为45°，则与a，b所成的角为45°的直线有2条．(2)过P点在平面α内120°的角平分线存在一条直线与a1，b1所成的角为60°；过P点在平面α外的左右两侧存在两条直线与a1，b1所成的角为60°，则与a，b所成的角为60°的直线有3条．(3)过P点在平面α外左右两侧存在两条直线与a1，b1所成的角为70°，过P点在平面α外前、后两侧存在两条直线与a1，b1所成的角为70°，则与a，b所成的角为70°的直线有4条．
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