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双基限时练(八)
1．函数f(x)＝x＋2cosx在[0，]上的最大值点为( )
A．x＝0 B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析 令f′(x)＝1－2sinx＝0，则sinx＝，又x∈[0，]，∴x＝，又f(0)＝2，f()＝＋，f()＝，
∴f()最大，∴最大值点为x＝.
答案 B
2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．0≤a<1 B．0<a<1
C．－1<a<1 D．0<a<
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
依题意f′(x)＝0在(0,1)内有解．
∴0<a<1.
答案 B
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当－1<x<1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(－1,1)上是减函数，没有最值．
答案 C
4．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－ B.
C．－ D．－或－
解析 f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，易知，f(x)的图象是开口向下的抛物线，对称轴x＝－1，而f(－1)＝4>，f(2)＝－5<，∴－1<a<2.由f(a)＝－(a＋1)2＋4＝，解得a＝－，或a＝－(舍去)．
答案 C
5．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值为( )
A．0 B.
C. D.
解析 ∵y＝xe－x，∴y′＝e－x＋xe－x(－x)′＝(1－x)e－x.
∵e－x>0，∴当x∈(0,1)时，y′>0；当x∈(1,4)时，y′<0.故当x＝1时，y有极大值.又当x＝0时，y＝0；当x＝4时，y＝.∴最大值为.
答案 B
6．函数f(x)＝sinx＋cosx在x∈时，函数的最大值、最小值分别是________．
解析 f′(x)＝cosx－sinx，x∈[－，]，令f′(x)＝0，得x＝，又f()＝，f(－)＝－1，f()＝1，即最大值为，最小值为－1.
答案 ，－1
7．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是________．
解析 f′(x)＝12－3x2＝3(4－x2)，
令f′(x)＝0，得x＝±2，
而f(－3)＝－36＋27＝－9，
f(－2)＝－24＋8＝－16，
f(2)＝24－8＝16，
f(3)＝36－27＝9.
∴最小值是－16.
答案 －16
8．设f(x)，g(x)是定义在[a，b]上的可导函数，且f′(x)>g′(x)，令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)在[a，b]上的最大值为________．
解析 F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0，
∴F(x)在[a，b]上是增函数．
∴最大值为F(b)＝f(b)－g(b)．
答案 f(b)－g(b)
9．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．
解析 如图所示，设点P(x0，ex0)，则
f′(x0)＝ex0(x0>0)．
∴f(x)＝ex(x>0)在点P处的切线方程为
y－ex0＝ex0(x－x0)，令x＝0，得
M(0，ex0－x0ex0)．
过点P与l垂直的直线方程为
y－ex0＝－(x－x0)，
令x＝0，得N(0，ex0＋)．
∴2t＝ex0－x0ex0＋ex0＋＝2ex0－x0ex0＋x0e－x0，则(2t)′＝2ex0－ex0－x0ex0＋e－x0－x0e－x0＝(1－x0)(ex0＋e－x0)．
∵ex0＋e－x0>0，∴当1－x0>0时，即0<x0<1时，(2t)′>0，∴2t在(0,1)上单调递增；
当1－x0<0，即x0>1时，(2t)′<0，
∴2t在(1，＋∞)上单调递减．
故当x0＝1时，2t有最大值e＋，
即t的最大值为(e＋)．
答案 (e＋)
10．已知a∈R，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最值；
(3)若函数f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是递增的，求a的取值范围．
解 (1)由原式得
f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时f(x)＝(x2－4)(x－)，
f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝，或x＝－1.
又f()＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
(3)f′(x)＝3x2－2ax－4的图象是开口向上的抛物线，且过定点(0，－4)．
由条件得f′(－2)≥0，f′(2)≥0，
即∴－2≤a≤2.
故a的取值范围是[－2,2]．
11．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax，
∵f′(1)＝3－2a＝3，∴a＝0.
又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
∴曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0<a<3时，f(x)在[0，]上单调递减，在[，2]上单调递增，从而
f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
12．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝－时是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值．
解 (1)∵f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立，
∴即⇒a≤0，
∴a的取值范围是(－∞，0]．
(2)若x＝－是f(x)的极值点，
则f′(－)＝3(－)2＋a－3＝0，
∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x.
f′(x)＝3x2－8x－3
＝(3x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0得，x1＝－，或x2＝3.
f′(x)，f(x)随x变化的状况如下表：
x
1
(1,3)
3
(3,4)
4
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－6
↘
微小值－18
↗
－12
由表可知，当x＝1时，f(x)在[1,4]上有最大值为－6.
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