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双基限时练(十五)
1．下列说法中正确的是( )
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
答案 D
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四周体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．① B．③
C．①② D．①②③
答案 D
3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四周体的体积为( )
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)·r(S1，S2，S3，S4分别为四周体的四个面的面积，r为四周体内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)·h(h为四周体的高)
解析 面积与体积，边长与面积，圆与球进行类比，应选C.
答案 C
4．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，又归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析 归纳所给出的导函数知，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，依据这一规律可知，f(x)为偶函数，其导函数g(x)必为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
答案 D
5．已知对正数a和b，有下列命题：
①若a＋b＝1，则≤；
②若a＋b＝3，则≤；
③若a＋b＝6，则≤3.
依据以上三个命题供应的规律猜想：若a＋b＝9，则≤( )
A．2 B.
C．4 D．5
答案 B
6．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x轴 ，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的直线方程为( )
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
答案 A
7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…的前4项的值，由此猜想：
an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1的结果为________．
解析 1＝12，
1＋2＋1＝4＝22，
1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，
……
由此可以猜想an＝n2.
答案 n2
8．圆的面积S＝πr2，周长c＝2πr，两者满足c＝S′(r)，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.
解析 球的面积S＝4πr2，
球的体积V＝πr3，
则有S＝V′(r)＝4πr2.
答案 V球＝πr3，S球＝4πr2，满足S＝V′(r)
9．观看以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为____________________．
答案 sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝
10．下图的倒三角形数阵满足：
(1)第1行的n个数分别是1,3,5，…，2n－1；
(2)从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和；
(3)数阵共有n行．
则第5行的第7个数是________．
解析 观看倒三角形数阵知，每一行均为等差数列，且第1行的公差为2，第2行的公差为4，第3行的公差为8，第4行的公差为16，第5行的公差为32.又推得第5行第一个数字为80，故第5行第7个数字是80＋32×(7－1)＝272.
答案 272
11．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n条直线最多有多少个交点．
解 设直线条数为n，最多交点个数为f(n)，则
f(2)＝1，
f(3)＝3＝1＋2，
f(4)＝6＝1＋2＋3，
f(5)＝10＝1＋2＋3＋4，
f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＋5，
……
由此可以归纳出，n条直线交点个数最多为
f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝.
12．设an是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的一个通项公式．
解 当n＝1时，a1＝1，且2a22－a21＋a2·a1＝0，
即2a22＋a2－1＝0，解得a2＝，
当n＝2时，由
3a23－2()2＋a3＝0，
即6a23＋a3－1＝0，解得a3＝，
……
由此猜想：an＝.
13．某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)依据(1)的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解 (1)选择②式计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.
(2)推广到一般状况有三角恒等式：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sin2α＋sinαcosα－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝(sin2α＋cos2α)＝.
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