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双基限时练(二)
1．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x1处的导数
C．在区间[x0，x1]上的导数
D．在x处的平均变化率
解析 由平均变化率的定义知选A.
答案 A
2．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为( )
A．0 B．1
C．c D．不存在
解析 f′(x)＝ ＝ ＝0.
答案 A
3．y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
解析 ∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝2＋Δx.∴f′(1)＝ (2＋Δx)＝2.
答案 B
4．在导数的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx<0 B．Δx>0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
解析 Δx可正、可负，就是不能为0，因此选D.
答案 D
5．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是( )
A．物体5秒内共走过42米
B．物体每5秒钟运动42米
C．物体从开头运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒
D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米
解析 由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．故选D.
答案 D
6．假如质点A按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为________．
解析 ∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，
∴s′(3)＝ ＝ (18＋3Δt)＝18.
答案 18
7．设函数f(x)满足 ＝－1，则f′(1)＝________.
解析 ∵ ＝ ＝f′(1)＝－1.
答案 －1
8．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝________.
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)
＝2Δx＋(Δx)2.
答案 2Δx＋(Δx)2
9．已知f(x)＝ax2＋2，若f′(1)＝4，求a的值．
解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋2－(a×12＋2)
＝2a·Δx＋a(Δx)2，
∴f′(1)＝ ＝ (2a＋a·Δx)＝2a＝4.
∴a＝2.
10．已知函数f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
解 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝[13－8(x0＋Δx)＋(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋x)＝－8Δx＋2x0Δx＋(Δx)2.
f′(x0)＝ ＝ (－8＋2x0＋Δx)＝－8＋2x0，
又∵f′(x0)＝4，∴－8＋2x0＝4，∴x0＝3.
11．在自行车竞赛中，运动员的位移与竞赛时间t存在关系s(t)＝10t＋5t2(s的单位是m，t的单位是s)．
(1)求t＝20，Δt＝0.1时的Δs与；
(2)求t＝20时的速度．
解 (1)当t＝20，Δt＝0.1时，
Δs＝s(20＋Δt)－s(20)
＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)
＝1＋20＋5×0.01＝21.05.
∴＝＝210.5.
(2)由导数的定义知，t＝20时的速度即为
v＝
＝
＝
＝ (5Δt＋10＋10t)
＝10＋10t
＝10＋10×20
＝210(m/s)．
12．若一物体运动方程如下(位移：m，时间：s)．
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解 (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度为v0，即求物体在t＝0时瞬时速度．
∵物体在t＝0四周的平均速度为＝＝＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时速度为 ＝ (3Δt－18)＝－18(m/s)．
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1四周的平均速度变化为
＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12(m/s)．
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
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