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双基限时练(八)
1．“a⊥α，则a垂直于平面α内的任始终线”是( )
A．全称命题 B．特称命题
C．不是命题 D．真命题
答案 A
2．命题“全部能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．全部不能被2整除的整数都是偶数
B．全部能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析 全称命题的否定是特称命题，因此A，B不正确．全称命题“∀x，P(x)”的否定是特称命题“∃x，綈p(x)”，因此D正确．
答案 D
3．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则( )
A．綈p：∃x∈R，sinx≥1
B．綈p：∀x∈R，sinx≥1
C．綈p：∃x∈R，sinx>1
D．綈p：∀x∈R，sinx>1
答案 C
4．下列语句中，推断正确的个数是( )
①全称命题“∀n∈Z,2n＋1是奇数”是真命题
②特称命题“∃x∈R，x2是无理数”是真命题
③命题“∀n∈Z,2n＋1是奇数”的否定是“∃n∈Z，2n＋1不是奇数”
④命题“∃x∈R，x2是无理数”的否定是“∀x∈R，x2是有理数”
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
5．已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则( )
A．綈p：∃x∈R，cosx≥1
B．綈p：∀x∈R，cosx≥1
C．綈p：∃x∈R，cosx>1
D．綈p：∀x∈R，cosx>1
答案 C
6．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
答案 C
7．命题“函数都有最大值”的否定是________．
答案 有的函数没有最大值
8．命题“至少有一个正数满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．
答案 ∀x∈R＋，方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0不成立
9．若命题p：∀x∈R，<0，则綈p：____________.
解析 綈p：∃x0∈R，使>0或x0－2＝0.
最简洁消灭的错误答案是：存在x0∈R，使≥0.
答案 ∃x0∈R，使>0或x0－2＝0
10．命题“存在x∈R，使2x2－3ax＋9<0”为假命题，求实数a的取值范围．
解析 ∵“存在x∈R，使2x2－3ax＋9<0”为假命题．
∴它的否定：“对任意的x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．
∴只要Δ＝9a2－4×2×9≤0.解得－2≤a≤2.
故实数a的取值范围是[－2，2]．
11．设集合A＝{1,2,4,6,8,10,12}，试写出下列命题的否定，并推断其真假．
(1)p：∀n∈A，n<12；
(2)q：∃n∈{奇数}，使n∈A.
解 (1)綈p：∃n∈A，使n≥12.
∵当n＝12时，綈p成立，
∴綈p是真命题．
(2)綈q：∀n∈{奇数}，n∉A.綈q是假命题．
12．若p(x)：sinx＋cosx>m，q(x)：x2＋mx＋1>0，假如∀x∈R，p(x)为假命题，q(x)为真命题，求实数m的取值范围．
解 由于sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]，又∀x∈R，p(x)为假命题，即对任意x∈R，sinx＋cosx>m不成立，所以m>.
又对任意x∈R，q(x)为真命题，即对任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，所以Δ＝m2－4<0，
即－2<m<2.
故∀x∈R，p(x)为假命题，q(x)为真命题，
应有<m<2.
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