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双基限时练(十五)
1．设ξ是随机变量，a，b是非零常数，则下列等式中正确的是( )
A．D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＋b B．E(aξ)＝a2E(ξ)
C．D(aξ)＝a2D(ξ) D．E(aξ＋b)＝aE(ξ)
答案 C
2．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
解析 依题意得解得
答案 A
3．设离散型随机变量为ξ，下列说法中正确的是( )
A．E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
B．D(ξ)反映了ξ取值的平均水平
C．E(ξ)反映了ξ取值的平均水平
D．D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
答案 C
4．若ξ是一个随机变量，则E(ξ－E(ξ))的值为( )
A．无法求 B．0
C．E(ξ) D．2E(ξ)
解析 ∵常数b的均值还是b，而E(ξ)为一个常数，
∴E(E(ξ))＝E(ξ)．
∴E(ξ－E(ξ))＝E(ξ)－E(ξ)＝0.故选B.
答案 B
5．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的状况为
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
则有结论( )
A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些
B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C．两人的产品质量一样好
D．无法推断谁的质量好一些
解析 设甲、乙出次品的个数分别为ξ、η. 则E(ξ)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(η)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.∵E(ξ)>E(η)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些，故选B.
答案 B
6．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)等于( )
A．6 B．9
C．3 D．4
解析 由题意知，
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
∴D(3ξ＋5)＝9D(ξ)＝6.
答案 A
7．已知某运动员投篮命中率P＝0.6，则他连续投5次，命中次数η的方差为________．
解析 依题意知η～B(5,0.6)
D(η)＝5×0.6×(1－0.6)＝1.2.
答案 1.2
8．已知随机变量ξ的分布列如下
ξ
1
2
3
P
0.4
0.1
x
则ξ的标准差为________．
解析 ∵由分布列的性质知，x＝0.5，
E(ξ)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，
D(ξ)＝(1－2.1)2×0.4＋(2－2.1)2×0.1＋(3－2.1)2×0.5
＝0.484＋0.001＋0.405＝0.89.
∴σ(ξ)＝＝.
答案
9．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
解析 依题意得
解得a＝，b＝，c＝.
故D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝×＋×＋×＝.
答案
10．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
解析 依题意成功次数ξ服二项分布，即ξ～B(100，p)，D(ξ)＝100p(1－p)≤100×2＝25.当且仅当p＝1－p，即p＝时，成功次数的标准差有最大值5.
答案 5
11．有A，B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
ξA
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
ξB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中ξA，ξB分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A，B两种钢筋哪一种质量较好．
解 先比较ξA与ξB的期望值：
E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
所以，它们的期望值相同．再比较它们的方差：
D(ξA)＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，
D(ξB)＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165，
所以D(ξA)<D(ξB)，因此A种钢筋质量较好．
12．甲、乙两人射击，甲射击一次中靶的概率是p1，乙射击一次中靶的概率是p2，且，是方程x2－5x＋6＝0的两个实根．已知甲射击5次，中靶次数的方差是.
(1)求p1，p2的值；
(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目的．则完成目的的概率是多少？
解 (1)由题意可知，甲射击5次中靶次数ξ听从二项分布B(5，p1)，∴D(ξ)＝5p1(1－p1)＝.∴p－p1＋＝0，
解得，p1＝.又·＝6，∴p2＝.
(2)分两种状况：共击中3次的概率为
C()2()0×C()1()1＋C()1()1×C()2()0＝；
共击中4次的概率为C()2×C()2＝.
故所求概率为＋＝.
(3)两人各射击1次，都未中靶的概率为(1－)(1－)＝，
∴两人各射击1次，至少中靶1次的概率为1－＝.
13．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
解 工人甲生产出次品数X的期望与方差分别为：
E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.
工人乙生产出次品数Y的期望与方差分别为：
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(Y)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.
由E(X)＝E(Y)知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术水平比较稳定．
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