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课时作业6 等差数列的综合问题
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则S13等于( )
A．152 B．154
C．156 D．158
【答案】 C
【解析】 ∵，∴，
∴，∴S13＝13a1＋d＝156.
2．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a5＝19，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是( )
A．4 B.
C．－4 D．－14
【答案】 A
【解析】 设过P、Q的直线斜率为k，
则k＝＝d，
又∵a5＝19，S5＝55
∴＝55，
∴a1＝3，d＝4，
∴k＝4.
3．已知{an}是等差数列，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则该数列前10项和S10等于( )
A．64 B．100
C．110 D．120
【答案】 B
【解析】 由a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，得d＝2.
所以S10＝＝＝＝100，故选B.
4．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn.若a2，a10是方程x2＋12x－8＝0的两个根，那么S11的值为( )
A．44 B．－44
C．66 D．－66
【答案】 D
【解析】 ∵a2＋a10＝－12，∴S11＝＝＝＝－66.
5．数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列{}是等差数列，则a4＝( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 ∵a2＝2，a6＝0，
∴＝，＝1，
∴{}的公差为，
∴＝＋(n－2)×＝，
∴＝，
∴a4＝.
6．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20
C．19 D．18
【答案】 B
【解析】 ∵a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝－2，∴a1＝39.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋41，
∴Sn＝＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.
故当n＝20时，Sn取最大值400.
7．已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1＝( )
A．30 B．29
C．28 D．27
【答案】 B
【解析】 an＋1＝S奇－S偶＝290－261＝29.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．在等差数列{an}中，若a4＋a6＝20，则S9的值为________．
【答案】 90
【解析】 S9＝＝＝＝90.
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式为an＝________.
【答案】 2n
【解析】 当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，a1＝2也符合上式，∴an＝2n.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3，则＝________.
【答案】 9
【解析】 ∵{an}为等差数列，∴＝＝＝＝9.
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)下表给出一个“等差数阵”
4
7
( )
…
a1j
…
7
12
( )
…
a2j
…
( )
( )
( )
…
a3j
…
…
…
…
…
…
…
ai1
ai2
ai3
…
aij
…
…
…
…
…
…
…
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．
(1)写出a45的值；
(2)写出aij的计算公式．
【解析】 (1)∵每行都成等差数列，
∴a15＝a11＋4(a12－a11)＝16.
a25＝a21＋4(a22－a21)＝27，
又∵每列都成等差数列，
∴a45＝a15＋3(a25－a15)＝49.
(2)解法一：该等差数列的第1行是首项为4，公差为3的等差数列，故a1j＝4＋3(j－1)．
第2行是首项为7，公差为5的等差数列，a2j＝7＋5(j－1)，
…，
第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，因此
aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)
＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.
解法二：第一列是首项a11＝4，公差d＝a21－a11＝7－4＝3的等差数列．
∴通项ai1＝4＋3(i－1)＝3i＋1.
其次列是首项a12＝7，公差d′＝a22－a12＝12－7＝5的等差数列．
∴ai2＝7＋5(i－1)＝5i＋2.
∵ai1，ai2，ai3，…，aij，…，构成首项ai1＝3i＋1，公差d1＝ai2－ai1＝(5i＋2)－(3i＋1)＝2i＋1的等差数列，
∴aij＝ai1＋(j－1)d1＝i＋j＋2ij.
12．(15分)已知数列{an}为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为3227，求这个数列的通项公式．
【解析】 解法一：由等差数列的性质可知，奇数项a1，a3，a5，…，a11与偶数项a2，a4，a6，…，a12照旧成等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，则
S偶＝a2×6＋×2d＝6a1＋36d，S奇＝a1×6＋×2d＝6a1＋30d，
∴解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.
解法二：设奇数项与偶数项的和分别为S奇，S偶，
∴∴∴d＝＝5.
又∵S奇＝＝3(2a1＋10d)＝162，
∴a1＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.
13．(20分)甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开头运动几分钟后第一次相遇？
(2)假如甲、乙到达对方起点后马上折返，甲连续每分钟比前1分钟多走1m，乙连续每分钟走5m，那么开头运动几分钟后其次次相遇？
【解析】 (1)设甲、乙运动开头n分钟后第一次相遇，依题意，有
2n＋＋5n＝70.
整理，得n2＋13n－140＝0，解得n＝7，或n＝－20(舍去)．
∴甲、乙开头运动7分钟后第一次相遇．
(2)设m分钟后其次次相遇，依题意有
2m＋＋5m＝3×70，
整理得m2＋13m－6×70＝0，
解得m＝15，或m＝－28(舍去)．
∴开头运动15分钟后其次次相遇．
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