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章末检测
一、选择题
1．下列大事中，随机大事的个数为 ( )
①在学校明年召开的田径运动会上，同学张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名同学去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①在2022年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军．②李凯不肯定被抽到．③任取一张不肯定为1号签．④在标准大气压下水在4 ℃时不行能结冰，故①②③是随机大事，④是不行能大事．
2．掷一枚均匀的硬币，假如连续抛掷1 000次，那么第999次消灭正面对上的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 投掷一枚均匀的硬币正面对上的概率为，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面对上的概率为，抛掷第999次正面对上的概率还是.
3．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是
( )
A．A与C互斥 B．任何两个均互斥
C．B与C互斥 D．任何两个均不互斥
答案 A
解析 三件产品至少有一件次品包含三件产品全是次品，所以B、C不互斥，而A与C对立且互斥．
4．1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为 ( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
答案 A
解析 本题考查的是体积型几何概型．
5．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，假如允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 全部的基本大事总数为4，分别为(男，男)、(男，女)、(女，男)、(女，女)，∴两胎均是女孩的概率为.
6．下列四个命题：
①对立大事肯定是互斥大事；
②若A，B为两个大事，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若大事A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④若大事A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立大事．其中错误命题的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 ①正确；②当且仅当A与B互斥时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个大事A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，②不正确；③P(A∪B∪C)不肯定等于1，还可能小于1，∴③也不正确；④也不正确．例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设大事A＝{红球或黄球}，大事B＝{黄球或黑球}，明显大事A与B不互斥，但P(A)＝，P(B)＝，P(A)＋P(B)＝1.
7．(2021·晋州高一检测)某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不当心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为 ( )
A．100 m B．80 m C．50 m D．40 m
答案 A
解析 设河宽x m，则1－＝，∴x＝100.
8．先后抛掷两颗骰子，设消灭的点数之和是12，11，10的概率依次是P1、P2、P3，则 ( )
A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3
C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1
答案 B
解析 先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本大事：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，并且每个基本大事都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6，6)；点数之和为11的有2个：(5，6)，(6，5)；点数之和为10的有3个：(4，6)，(5，5)，(6，4)，故P1＜P2＜P3.
9．如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估量出阴影部分的面积为 ( )
A. B. C．10 D．不能估量
答案 A
解析 利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为×(5×2)＝.
10．(2021·沈阳高一检测)在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的大事是 ( )
A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品 D．都不是一等品
答案 C
解析 将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立大事是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.
二、填空题
11．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，假如随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________．
答案
解析 由古典概型的算法可得P(A)＝＝，P(B)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
12．设p在[0，5]上随机地取值，则方程x2＋px＋＋＝0有实根的概率为________．
答案
解析 一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p2－4＝(p＋1)(p－2)，解得p≤－1或p≥2，故所求概率为P＝＝.
13．在抛掷一颗骰子的试验中，大事A表示“不大于4的偶数点消灭”，大事B表示“小于5的点数消灭”，则大事A＋发生的概率为________．(表示B的对立大事)
答案
解析 大事A包含的基本大事为“消灭2点”或“消灭4点”；表示“大于等于5的点数消灭”，包含的基本大事为“消灭5点”或“消灭6点”．明显A与是互斥的，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
14．(2021·合肥高一检测)甲乙两人玩猜数字玩耍，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0，1，2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个玩耍，则二人“心有灵犀”的概率为________．
答案
解析 此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a－b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，∴P＝＝.
三、解答题
15．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
解 从中取出2粒都是黑子与都是白子互斥，因而从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为＋＝.
16．同时抛掷1角、5角和1元的三枚硬币，计算：
(1)恰有一枚消灭正面的概率；
(2)至少有两枚消灭正面的概率．
解 基本大事有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，正，正)共8个．
(1)用A表示“恰有一枚消灭正面”这一大事：
则A＝{(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)}．
因此P(A)＝.
(2)用B表示“至少有两枚消灭正面”这一大事，
则B＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)}，
因此P(B)＝＝.
17．(2021·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参与一场唱歌竞赛，由500名大众评委现场投票打算歌手名次．依据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的全部结果如图：
由树状图知全部结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
18．先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
解 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本大事有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个．
(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1，整理得：a2＋b2＝25.
由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，∴满足条件的状况只有a＝3，b＝4，或a＝4，b＝3两种状况．
∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是＝.
(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，
∴当a＝1时，b＝5，共1个基本大事；
当a＝2时，b＝5，共1个基本大事；
当a＝3时，b＝3，5，共2个基本大事；
当a＝4时，b＝4，5，共2个基本大事；
当a＝5时，b＝1，2，3，4，5，6，共6个基本大事；
当a＝6时，b＝5，6，共2个基本大事；
∴满足条件的基本大事共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.
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