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双基限时练(十)
一、选择题
1．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析 由题意得，a3＝a1＋a2，
∴q2＝1＋q，得q＝，又an>0，
∴q>0，故q＝.
即＝q＝.
答案 B
2．公差不为0的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析 2a3－a＋2a11＝0得4a7－a＝0，∴a7＝4，或a7＝0(舍)．∵b7＝a7，∴b6b8＝b＝16.
答案 D
3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( )
A．18 B．24
C．60 D．90
解析 设公差为d，则a4＝a1＋3d，a3＝a1＋2d，a7＝a1＋6d，由已知得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，
得2a1＝－3d，
又S8＝＝32，得d＝2.
∴S10＝＝5(2a1＋9d)＝5×6d＝60.
答案 C
4．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}的相邻三项，若b2＝5，则bn＝( )
A．5·n－1 B．5·n－1
C．3·n－1 D．3·n－1
解析 由题意得a＝a5·a13.
即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)(a1＋12d)，得d＝2a1.
∴a8＝15a1，a5＝a1＋4d＝9a1，q＝＝.
∴bn＝b2·qn－2＝5×n－2＝3×n－1.
答案 D
5．数列9,99,999,9999，…的前n项和等于( )
A．10n－1 B.(10n－1)－n
C.(10n－1) D.(10n－1)＋n
解析 an＝10n－1，
∴Sn＝－n＝－n.
答案 B
6．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析 由已知得解得或
当a4＝4，a7＝－2时，易得a1＝－8，a10＝1，从而a1＋a10＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，易得a10＝－8，a1＝1，从而a1＋a10＝－7.
答案 D
二、填空题
7．一个等比数列，它与一个首项为0，公差不为零的等差数列相应项相加后得到新的数列1,1,2，…，则相加以后新数列的前10项和为________．
解析 设{an}为等比数列，公比为q，数列{bn}为等差数列，公差为d，
则得
∴新数列的前10项的和S10＝＋×(－1)＝978.
答案 978
8．1，，2，，4，，…的前2n项的和是________．
解析 S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋
＝＋
＝2n－n.
答案 2n－n
9．首项为2，公差为2的等差数列的前n项和为Sn，则＋＋…＋＝________.
解析 由已知可知Sn＝2n＋×2＝n2＋n
∴＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
答案
三、解答题
10．在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列．
求的值．
解 ∵{an}为等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1d＝d2，又d≠0，∴a1＝d，∴＝＝.
11．在等比数列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn.求数列{Sn}的通项公式．
解 (1)∵{an}为等比数列，a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a＋2a3a5＋a＝25.
又an>0，∴a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4.
而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
∴q＝，a1＝16.
∴an＝16×n－1＝25－n.
(2)bn＝log2an＝5－n，
∴{bn}的前n项和Sn＝＝.
12．已知{an}是一个公差大于0的等差数列，并且满足a3·a6＝55，a2＋a7＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)假如数列{an}和数列{bn}都满足等式：an＝＋＋…＋(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)由{an}为等差数列，知a2＋a7＝a3＋a6＝16，
由得或
又公差d>0，∴a3＝5，a6＝11.
由a6＝a3＋3d，得d＝2.
∴an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.
(2)当n＝1时，a1＝，得b1＝2.
当n≥2时，由an＝＋＋…＋＋，
得an－1＝＋＋…＋.
∴an－an－1＝.
∴bn＝2n＋1.
又n＝1时，2n＋1＝4≠2，
∴bn＝
当n＝1时，S1＝b1＝2，
当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋＝2n＋2－6，
又n＝1时，上式也成立，
∴Sn＝2n＋2－6.
思 维 探 究
13．已知数列{an}为等差数列且公差d≠0，{an}的部分项组成下列数列：ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn.
解 由题设有a2k2＝ak1ak3，即a＝a1a17，∴(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，∴a1＝2d或d＝0(舍去)，∴a5＝a1＋4d＝6d，∴等比数列的公比q＝＝＝3.
由于akn是等差数列的第kn项，又是等比数列的第n项，
故akn＝a1＋(kn－1)d＝ak1qn－1，
∴kn＝2·3n－1－1.
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