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第三课时 导数与函数的单调性（三）
一、教学目标：
1.正确理解利用导数推断函数的单调性的原理；
2.把握利用导数推断函数单调性的方法
二、教学重难点：利用导数推断函数单调性.
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：
1. 函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.2. 导数的概念及其四则运算3、定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，假如在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；假如在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 4、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x) 0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间.
（二）、探究新课
例1、确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.
∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.
∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
例2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x，令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
例3、证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.
证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.
f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0， ∴＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.
证法二：(用导数方法证)
∵f′(x)=( )′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0. ∴f′(x)＜0，
∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.
例4、求函数y=x2(1－x)3的单调区间.
解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)
=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)
令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜. ∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)
令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.∵为拐点，
∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)
例5、已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解：，由于在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：；所以实数的取值范围为．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，留意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
（三）、小结：本节课学习了利用导数推断函数单调性.
（四）、课堂练习：
（五）、课后作业：1、求证：函数在区间内是减函数．
证明：由于
当即时，，所以函数在区间内是减函数．
2、已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解：，由于在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以实数的取值范围为。
五、教后反思：
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