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双基限时练(十五)
1．方程y＝－2所表示曲线的外形是( )
解析 由y＝－2，知y≤0，x≥0，因此选D.
答案 D
2．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析 由于点M(3,2)在抛物线y2＝8x的内部，所以过点M平行x轴的直线y＝2，适合题意，因此只有一条．
答案 B
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．8 B．10
C．6 D．4
解析 由题意知，|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案 A
4．抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )
A．(4，±2) B．(±4，2)
C．(±2,4) D．(2，±4)
解析 抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，
设P(x，y)适合题意，则有
⇒⇒
∴适合题意的点为(2，±4)．
答案 D
5．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则·的值是( )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
解析 特例法，∵y2＝4x的焦点F(1,0)，设过焦点F的直线为x＝1，∴可求得A(1，－2)，B(1,2)．∴·＝1×1＋(－2)×2＝－3.
答案 D
6．过抛物线y2＝4x的焦点F，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，则|AB|的长为________．
解析 由y2＝4x知F(1,0)，可得直线AB的方程为y＝(x－1)，与y2＝4x联立，可求得A，B(3,2)．
∴|AB|＝＝.
答案
7．抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点纵坐标为－4，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为__________．
解析 设点(x0，－4)，则(－4)2＝2px0，
∴x0＝＝.
又由抛物线的定义知x0＋＝6，∴＋＝6，
即p2－12p＋32＝0，
解得p＝4，或p＝8.
∴抛物线方程为y2＝8x，或y2＝16x.
答案 y2＝8x，或y2＝16x
8．若抛物线y2＝mx与椭圆＋＝1有一个共同的焦点，则m＝__________.
解析 由＋＝1得焦点(－2,0)，(2,0)．
当焦点为(－2,0)时，抛物线开口向左，∴m＜0.
∴⇒m＝－8；
当焦点为(2,0)时，抛物线开口向右，∴m＞0.
∴⇒m＝8.
答案 8或－8
9．已知直线l过点A(－，p)，且与抛物线y2＝2px只有一个公共点，求直线l的方程．
解 当直线与抛物线只有一个公共点时，设直线方程为：y－p＝k(x＋)．将直线l的方程与y2＝2px联立，消去x得
ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0
由Δ＝0得，k＝，或k＝－1.∴直线l的方程为
2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0.
当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，此时，y＝p，故满足条件的直线共有三条，其方程为：
2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0，或y＝p.
10．线段AB过x轴正半轴上肯定点M(m,0)，端点A，B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线，求抛物线的方程．
解 画图知，抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝ay＋m.
由消去x，并整理得y2－2apy－2mp＝0.
由根与系数的关系得
y1y2＝－2mp.
由已知得|y1||y2|＝2m，
则p＝1.
故抛物线的方程为y2＝2x.
11．已知抛物线y2＝2x，
(1)设点A的坐标为(，0)，在抛物线上求一点P，使|PA|最小；
(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
解 (1)设P(x，y)，则|PA|2＝(x－)2＋y2
＝(x－)2＋2x
＝(x＋)2＋.
∵x≥0且在此区间上函数单调递增，故当x＝0时，|PA|有最小值，离A点最近的点P(0,0)．
(2)设点P(x0，y0)是抛物线y2＝2x上任一点，则P到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝
＝，
∴当y0＝1，d有最小值.
∴点P的坐标为(，1)．
12．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解 (1)证明：如图所示，由消去x，整理得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－1.
∵A，B在抛物线上，∴y＝－x1，y＝－x2，∴yy＝x1x2.
又∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N，明显k≠0，令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．
∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON||y1－y2|.
而|y1－y2|＝
＝＝ ＝ .
又∵S△OAB＝，
∴×1× ＝.解得k＝±.
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