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双基限时练(八)
1．有关辗转相除法下列说法正确的是( )
A．它和更相减损术一样是求多项值的一种方法
B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至r<n为止
C．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r(0≤r<n)，反复进行，直到r＝0为止
D．以上说法均不正确
答案 C
2．以下是利用秦九韶算法求当x＝13时，多项式7x3＋3x2－5x＋11的值的算法．
①第一步，x＝13.
其次步，y＝7x3＋3x2－5x＋11.
第三步，输出y.
②第一步，x＝13.
其次步，y＝((7x＋3)x－5)x＋11.
第三步，输出y.
③算3次乘法4次加法．
④算3次乘法3次加法．
以上正确的描述为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 D
3．两个整数490和910的最大公约数是( )
A．2 B．10
C．30 D．70
解析 910＝91×10,490＝49×10，
∵91＝49×1＋42，
49＝42×1＋7，
42＝7×6.
∴91与49的最大公约数为7.
故910与490的最大公约数为70.
答案 D
4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )
A．6,6 B．5,6
C．5,5 D．6,5
解析 ∵f(x)的最高次项为3x6，共含有7项，∴用秦九韶算法求x＝0.4时的值时，需作乘法和加法各6次．
答案 A
5．用更相减损术求459和357的最大公约数，需作减法的次数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 459－357＝102，
357－102＝255，
255－102＝153，
153－102＝51，
102－51＝51.
共作了5次减法．
答案 B
6．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋11x3＋6x4＋5x5＋3x6当x＝－4时的值时，v3的值为_______________________ _________________________________________________．
解析 将f(x)变形为f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋11)x－8)x＋35)x＋12，
∴v0＝3，
v1＝3×(－4)＋5＝－7，
v2＝－7×(－4)＋6＝34，
v3＝34×(－4)＋11＝－125.
答案 －125
7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4－2x3＋3x2－7x－5当x＝4时的值，给出如下数据：
①0；②2；③11；④37；⑤143
其运算过程中(包括最终结果)会消灭的数有________(只填序号)．
解析 将多项式写成f(x)＝(((x－2)x＋3)x－7)x－5.
其中v0＝a4＝1，
v1＝1×4－2＝2，
v2＝2×4＋3＝11，
v3＝11×4－7＝37，
v4＝37×4－5＝143.
答案 ②③④⑤
8．请将以下用“更相减损术”求两个正整数a，b的最大公约数的程序补充完整：
解析 阅读程序知，当a>b时，作减法a－b；当a<b时，作减法b－a，因此应填b＝b－a.
答案 b＝b－a
9．用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值．
分析 留意本题中有几项不存在，此时在计算时，我们应当将这些项加上，比如含x3这一项可看做0·x3.
解 依据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1
＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
而x＝2，所以有
v0＝8，
v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42，
v3＝42×2＋3＝87，
v4＝87×2＋0＝174，
v5＝174×2＋0＝348，
v6＝348×2＋2＝698，
v7＝698×2＋1＝1397.
∴当x＝2时，多项式的值为1397.
10．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术验证你的结果．
(1)294,84；
(2)228,1995.
解 (1)∵294＝84×3＋42,84＝42×2，
∴294与84的最大公约数是42.
验证：∵294与84都是偶数，可同时除以2得147与42.
∵147－42＝105,105－42＝63,63－42＝21，
∴294与84的最大公约数是21×2＝42.
(2)∵1995＝228×8＋171,228＝171×1＋57,171＝57×3＋0，
∴1995与228的最大公约数是57.
验证：1995－228＝1767,1767－228＝1539,1539－228＝1311,1311－228＝1083,1083－228＝855,855－228＝627,627－228＝399,399－228＝171,228－171＝57,171－57＝114,114－57＝57，
∴228与1995的最大公约数是57.
11．有甲、乙、丙三种溶液，分别为4200毫升，3220毫升和2520毫升，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个瓶子装入液体的体积相同．问：要使全部溶液都刚好装满小瓶且所用瓶子最少，则小瓶的容积应为多少毫升？
解 由题意可知就是求这三种溶液体积的最大公约数．
先求4200与3220的最大公约数
4200＝3220×1＋980，
3220＝980×3＋280，
980＝280×3＋140，
280＝140×2.
∴4200与3220的最大公约数140.
再求140与2520的最大公约数，2520＝140×18.
∴140与2520的最大公约数为140.
综上知，4200,3220和2520的最大公约数为140.
∴小瓶的容积应为140毫升．
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