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高一数学暑假作业十三（不等式综合）
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．不等式>0的解集是________．
2．函数f(x)＝的定义域为________．
3．函数y＝的定义域为________．
4．原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是________．
5．若0≤x≤1,0≤y≤2，且2y－x≥1，则z＝2y－2x＋4的最小值为________．
6．已知x>0，y>0，M＝＋，N＝，则M______N.
7．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－<x<}，则a－b的值为________．
8．不等式x2－px－q<0的解集是{x|2<x<3}，则不等式qx2－px－1>0的解集是________．
9．已知方程x2＋2x＋2a＝0和x2＋2(2－a)x＋4＝0有且只有一个方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
10．已知log2(x＋y)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________．
11．下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b>0，能使不等式＋≥2成立的是________．
12．函数y＝ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若A在一次函数y＝mx＋n的图象上，其中m，n＞0，则＋的最小值为________．
13．在周长为定值L的扇形中，圆心角为________弧度时，扇形的面积最大．
14．不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(本小题满分14分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2＜0.
16．(本小题满分14分)已知a，b，c，d∈R，求证： ac＋bd≤.
17．(本小题满分14分)已知甲，乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨．甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
18．(本小题满分16分)(1)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值；
(2)求＋a(a＜4)的取值范围；
(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最小值．
19．(本小题满分16分)某种商品定价为每件60元，不征收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税x元(即税率为x%)，因此每年的销售量将削减x万件．
(1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成x的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)要使政府在此项经营中每年征收的税金不少于128万元，则税率x%应怎样确定？
(3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获最大销售金额，应如何确定x的值？
20．(本小题满分16分)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．
高一数学暑假作业十三（不等式综合）答案
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．不等式>0的解集是________．
解析 >0⇔(2x－1)(3x＋1)>0⇔x<－或x>.
答案 {x|x<－或x>}
2．函数f(x)＝的定义域为________．
解析 依题意有
⇒
∴定义域为(1,2)∪(2,3)．
答案 (1,2)∪(2,3)
3．函数y＝的定义域为________．
解析 依题意有：
解得－≤x<0或<x≤1.
答案 [－，0)∪(，1]
4．原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是________．
解析 由题意可得(－a)·(2－a)<0，解0<a<2
答案 (0,2)
5．若0≤x≤1,0≤y≤2，且2y－x≥1，则z＝2y－2x＋4的最小值为________．
解析 由已知作出可行域(如答图)
由z＝2y－2x＋4得y＝x－2＋.
当x＝0，y＝2时，zmin＝8.
当x＝1，y＝1时，zmin＝4.
答案 4
6．已知x>0，y>0，M＝＋，N＝，则M______N.
解析 M－N＝＋－＝
＝，
又x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0
∴M－N≥0，M≥N.
答案 ≥
7．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－<x<}，则a－b的值为________．
解析 由已知得解得
∴a－b＝－10.
答案 －10
8．不等式x2－px－q<0的解集是{x|2<x<3}，则不等式qx2－px－1>0的解集是________．
解析 由已知得即
∴不等式qx2－px－1>0为－6x2－5x－1>0，
即6x2＋5x＋1<0.
∴－<x<－.
答案 {x|－<x<－}
9．已知方程x2＋2x＋2a＝0和x2＋2(2－a)x＋4＝0有且只有一个方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
解析 依题意列不等式组
得0≤a<，
或得a>4.
所以实数a的取值范围为{a|0≤a<或a>4}．
答案 0≤ a<或a>4
10．已知log2(x＋y)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________．
解析 由已知x>0，y>0，x＋y＝xy，
又∵xy≤()2(当且仅当x＝y时等号成立)，
∴－(x＋y)≥0，
∴x＋y≤0或x＋y≥4，但x>0，y>0，故x＋y≥4.
答案 [4，＋∞)
11．下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b>0，能使不等式＋≥2成立的是________．
解析 依题意，只需a、b同号，故应填①③.
答案 ①③
12．函数y＝ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若A在一次函数y＝mx＋n的图象上，其中m，n＞0，则＋的最小值为________．
解析 由题知A(1,1)，∴m＋n＝1，m，n＞0.
∴＋＝＋＝2＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时，取“＝”号．
答案 4
13．在周长为定值L的扇形中，圆心角为________弧度时，扇形的面积最大．
解析 设半径为R，则扇形的面积S扇形＝R(L－2R)＝·2R(L－2R)≤()2＝.
当且仅当2R＝L－2R即＝2时，扇形面积有最大值，故填2.
答案 2
14．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是________．
解析 不等式表示的平面区域是如图所示阴影部分(即△ABC)，由得A(1,1)，
又B(0,4)，C；
∴S△ABC＝××1＝，
设y＝kx与3x＋y＝4的交点为D，
则由S△BCD＝S△ABC＝知xD＝，∴yD＝，
∴＝k×＋，解得k的值是.
答案
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(本小题满分14分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2＜0.
解 原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)＜0，
即＜0.
①当－＜，即a＞0时，－＜x＜；
②当－＝，即a＝0时，原不等式解集为∅；
③当－＞，即a＜0时，＜x＜－.
综上知，当a＞0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为∅；
当a＜0时，原不等式的解集为.
16．(本小题满分14分)已知a，b，c，d∈R，求证： ac＋bd≤.
证明 证法一 (a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2c2＋2abcd＋b2d2)＋(b2c2－2abcd＋a2d2)＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2≥(ac＋bd)2 ，
∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd，故命题得证．
证法二 ∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝(bc－ad)2≥0，
∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd，
即ac＋bd≤.
17．(本小题满分14分)已知甲，乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨．甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
解 设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋ 1.6(300－y)(万元)即：z＝780－0.5x－0.8y
x、y应满足
作出上面的不等式组所表示的平面区域．
设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，
则M(20,260)；把直线l：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．
答：甲煤矿向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，
乙煤矿生产的煤全部运往东车站，总运费最少．
18．(本小题满分16分)(1)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值；
(2)求＋a(a＜4)的取值范围；
(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最小值．
解 (1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6,8－3x＞2＞0，
∴y＝≤＝＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号．
∴当x＝时，y＝有最大值4.
(2)当a＜4时，a－4＜0，
∴＋a＝＋(a－4)＋4
＝－＋4
≤－2＋4＝－2＋4，
当且仅当＝(4－a)，即a＝4－时，取等号．
∴＋a的取值范围是(－∞，－2＋4]．
(3)∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1，
∴＋＝(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2＝18.
当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立，
∴当x＝，y＝时，＋有最小值18.
19．(本小题满分16分)某种商品定价为每件60元，不征收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税x元(即税率为x%)，因此每年的销售量将削减x万件．
(1)将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表示成x的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)要使政府在此项经营中每年征收的税金不少于128万元，则税率x%应怎样确定？
(3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获最大销售金额，应如何确定x的值？
解 (1)y＝(80－x)·60·x%＝－4x2＋48x，
且
∴0<x<12，
即定义域为(0,12)．
(2)由y≥128，得－4x2＋48x≥128，
解得4≤x≤8，
即税率x%∈[4%,8%]．
(3)销售金额S(x)＝(80－x)·60＝4 800－400x，x∈[4,8]．
∵S(x)在[4,8]上是减函数．
∴当x＝4时，S(x)max＝3 200(万元)．
答案 (1)y＝－4x2＋48x，定义域为(0,12)
(2)x%∈[4%,8%]
(3)x＝4时，销售金额最大
20．(本小题满分16分)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．
解 本题的关键是f(x)表达式中的确定值怎样处理，可考虑用分段函数表示f(x)，解题思路为：
(1)f(0)≥1，即为－a|a|≥1，解得a的取值范围是a≤－1，
(2)x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x2－2ax＋a2－1≥0，即h(x)≥1为一元二次不等式，画出函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)即h(x)＝3(x－)2＋(x>a)的图象，观看图象写出不等式h(x)≥1的解集．但由于h(x)＝3(x－)2＋(x>a)的图象与直线y＝1的交点状况由方程3x2－2ax＋a2－1＝0是否有根、以及有根时根是否在区间(a，＋∞)内打算；故要分类争辩．
∵方程3x2－2ax＋a2－1＝0的Δ＝4a2－12(a2－1)＝12－8a2，当－<a<时，Δ>0；
故a要与－，比较大小，分类争辩．
又Δ>0时，方程3x2－2ax＋a2－1＝0的根为，这两个根是否在区间(a，＋∞)内，即要比较它们与a的大小关系，由于＝a，＝a解得a＝±，故a要与－，比较大小，分类争辩．
综上，分以下状况写出不等式h(x)≥1的解集：
当a∈(－∞，－]∪[，＋∞)时，解集为(a，＋∞)；
当a∈(－，－)时，
解集为(a，]∪[，＋∞)；
当a∈[－，)时，解集为[，＋∞)．
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