2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第2章-第4讲-指数与指数函数.docx

第4讲 指数与指数函数
一、选择题
1．函数y＝a|x|(a>1)的图像是(　　)

解析 y＝a|x|＝当x≥0时，与指数函数y＝ax(a>1)的图像相同；当x<0时，y＝a－x与y＝ax的图像关于y轴对称，由此推断B正确．
答案 B
2．已知函数f(x)＝，则f(9)＋f(0)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 f(9)＝log39＝2，f(0)＝20＝1，
∴f(9)＋f(0)＝3.
答案 D
3．不论a为何值时，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是 (　　)．
A. B.
C. D.
解析　y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，则函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
答案　C
4．定义运算：a*b＝如1*2=1,则函数f(x)=2x *2-x的值域为 (　　)．
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1] D．[1，＋∞)
解析　f(x)＝2x*2－x＝∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f(x)≤1.
答案　C
5．若a>1，b>0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值为(　　)
A. B．2或－2
C．－2 D．2
解析 (ab＋a－b)2＝8⇒a2b＋a－2b＝6，
∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.
又ab>a－b(a>1，b>0)，∴ab－a－b＝2.
答案 D
6．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是下图中的 (　　)．

解析　函数f(x)＝(k－1)ax－a－x为奇函数，则f(0)＝0，即(k－1)a0－a0＝0，解得k＝2，所以f(x)＝ax－a－x，又f(x)＝ax－a－x为减函数，故0<a<1，所以g(x)＝loga(x＋2)为减函数且过点(－1,0)．
答案　A
二、填空题
7．已知函数f(x)＝
满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．
解析　对任意x1≠x2，都有<0成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，则0<a<1，且(a－3)×0＋4a≤a0，解得0<a≤.
答案　
8．若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是________．
解析 函数y＝2－x＋1＋m＝()x－1＋m，
∵函数的图象不经过第一象限，
∴()0－1＋m≤0，即m≤－2.
答案 (－∞，－2]
9．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析　令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，
若0<a<1，明显y＝ax与y＝x＋a的图象只有一个公共点；
若a>1，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示．

答案　(1，＋∞)
10．已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
解析　x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，x2∈[0,2]时，g(x2)∈，即g(x2)∈，要使∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，只需f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，故m≥.
答案　
三、解答题
11．已知函数f(x)＝.
(1)推断函数f(x)的奇偶性；
(2)求证f(x)在R上为增函数．
(1)解　由于函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝1－，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝2－＝2－＝2－＝2－2＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)证明　设x1，x2∈R，且x1<x2，有
f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵x1<x2,2x1－2x2<0,2x1＋1>0,2x2＋1>0，
∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在R上是增函数．
12．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)；
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解析 (1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得

结合a>0且a≠1，解得
∴f(x)＝3·2x.
(2)要使()x＋()x≥m在(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上为减函数，
∴当x＝1时，y＝()x＋()x有最小值.
∴只需m≤即可．
∴m的取值范围(－∞，]
13．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解析 (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令t＝－x2－4x＋3，
由于t(x)在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，
而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，
所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1.
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
14．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)当x<0时， f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，
∵2x>0，∴x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，
∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)．