江苏省2020—2021学年高一数学必修四随堂练习及答案：07平面向量的基本定理(2).docx

平面对量的基本定理（2）
1．等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，则与的夹角是________．

2．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝

3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝ （用e1,e2 来表示）
4．A、B、O是平面内不共线的三个定点，且＝a，＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于 （用a,b来表示）

5．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
°
6．如图所示，D是BC边的一个四等分点．若用基底，表示，则＝________________.

7．D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论：
①＝－a－b；②＝a＋b；
③＝－a＋b；④＝a.
其中正确结论的序号为________．

8．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.

9．如图，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线．

答案：

1.解析：作线段AB的延长线AD，则∠DBC是与的夹角．又∠DBC＝180°－∠ABC＝180°－45°＝135°.
答案：135°
2.解析：设AD与BE交点为F，则＝a，＝b.
由＋＋＝0，得＝(a－b)，
所以＝2＝2(－)＝a＋b.
答案：a＋b
3.解析：＝＝(＋)＝(＋)
＝(5e1＋3e2)．
答案：(5e1＋3e2)
4.解析：如图，
a＝(＋)，b＝(→＋)，
相减得b－a＝(－)．
∴＝2(b－a)．
答案：2(b－a)
5.解析：由题意可画出图形，
在△OAB中，
由于∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
答案：90
6.解析：∵D是BC边的四等分点，
∴＝＝(－)
∴＝＋＝＋(－)
＝＋.
答案：＋
7.解析：如图，＝＋
＝－b＋＝－b－a，①正确；
＝＋＝a＋b，②正确；
＝＋＝－b－a，
＝＋＝b＋(－b－a)
＝b－a，③正确；
④＝＝－a，④不正确．
答案：①②③
8.解：∵DC∥AB，AB＝2DC，E、F分别是DC、AB的中点，
∴＝＝a，＝＝＝b.
＝＋＋
＝－－＋
＝－×b－a＋b＝b－a.
9.证明：在△ABD中，＝－，
由于＝a，＝b，所以＝b－a.
∵N点是BD的三等分点，
∴＝＝(b－a)．
∵＝b ，
∴＝－＝(b－a)－b
＝－a－b. ①
∵M为AB中点，∴＝a，
∴＝－＝－(＋)＝－
＝－a－b. ②
由①②可得＝.
由共线向量定理知∥，
又∵与有公共点C，∴C、M、N三点共线．