江苏省2020—2021学年高一数学必修四随堂练习及答案：12向量的数量积(2).docx

随堂练习：向量的数量积（2）
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝，则a与b的夹角θ为

2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为 。

3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于

4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为

5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的外形为________．

6．已知|a|＝6，a与b的夹角为，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72.则|b|＝________.

7．在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M满足＝2，则·＝________.

8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.

9．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.

10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

答案
1.解析：∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a·b＝7，
∴a·b＝－，cos θ＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：θ＝.
2.解析：∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
答案：6
3.解析：∵AM＝1，且＝2，
∴||＝.
如图，·(＋)＝·2＝·＝＝()2＝.
答案：
4．解析：∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，
∴a与c的夹角为60°.
又|a－c|＝＝
＝
故|a－c|min＝.
答案：
5.解析：＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，
于是|＋|＝|－|，
所以|＋|2＝|－|2，
即·＝0，从而AB⊥AC.
答案：直角三角形
6.解析：由已知，a2－a·b－6b2＝－72，
∴|a|2－|a||b|cos－6|b|2＝－72，
即2|b|2＋|b|－36＝0.∴(2|b|＋9)(|b|－4)＝0.
∵|b|≥0，∴|b|＝4.
答案：4
7.解析：∵＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋，
又C＝90°，·＝0，
∴·＝(＋)·
＝＝3.
答案：3
8.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，
∴|a＋2b|＝，|a－2b|＝.
∴cos 120°＝＝
＝＝－.
∴＝.∴＝.
答案：
9.解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝，|a|＝1，
∴b2＝a2－＝1－＝，
∴|b|＝.
∴cos θ＝＝＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，
故a与b的夹角为.
(2)|a＋b|＝＝＝.
10.解：假设存在满足条件的θ，
∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．
∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.
∴|a|2－4|a||b|cos θ＋|b|2＝0.
∴
解得cos θ∈[，1]．
又∵θ∈[0，π]，
∴θ∈.
故当θ∈时，
|a＋b|＝|a－b|成立．