资源描述
向量的数量积（4）
1．(2022·辽宁高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝
2．已知点A(－1,0)、B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为
3．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是
4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于
5．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，假如向量a＋xb与－b垂直，则实数x的值为________．
6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝，则|·n|的最大值为________．
7．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的外形为________．
8．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为________．
9．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求向量；
(3)求证：AD2＝BD·CD.
10．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
答案
1.解析：由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.
答案：1
2.解析：＝(2,3)，a＝(2k－1,2)，由⊥a得2×(2k－1)＋6＝0，解得k＝－1.
答案-1
3．解析：设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，
＝(x－4，－1)，
∴·＝(x－2)(x－4)＋2
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
故当x＝3时，·最小，此时P(3,0)．
答案：P(3,0)
4.。解析：如图，＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，
则·＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8.
答案：8
5.解析：∵向量a＋xb与－b垂直，
∴(a＋xb)·(－b)＝－a·b－xb2＝－2－5x＝0，
∴x＝－.
答案：－
6.解析：＝(2,2)，||＝2，|·n|≤|||n|＝4，当且仅当与n共线且同向时取等号．
答案：4
7.解析：＝－＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而·＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以⊥，
又||≠||，所以△ABC是直角非等腰三角形．
答案：直角三角形
解析：设b＝(x，y)，由已知条件得
|a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos 45°.
∴
解得或
∵向量a按逆时针旋转后，向量对应的点在第一象限，∴x>0，y>0，∴b＝.
答案：
9.解：(1)∵＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，
＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，
·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，
∴AB⊥AC.
(2) ＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．
设＝λ＝(5λ，5λ)
则＝＋
＝(－3，－6)＋(5λ，5λ)
＝(5λ－3,5λ－6)，
由AD⊥BC得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝，
∴＝(，－)．
(3)证明：＝＋＝，
||＝＝，
||＝5，||＝||－||＝.
∴||2＝||·||，即AD2＝BD·CD.
解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
∴向量与共线，又＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，
∴＝(1－2y,7－y)．
同理＝－＝(5－2y,1－y)．
于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)，即y＝2时，
有＝(－3,5)，＝(1，－1)，
||＝，||＝，
·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝＝＝－.
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