2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：选修4-4-第二节参-数-方-程.docx

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课时提升作业(七十七)
1.过点P(,0)作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M,N,求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值.
2.(2021·三明模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合.圆C的参数方程为(α为参数),点Q的极坐标为().
(1)化圆C的参数方程为极坐标方程.
(2)若点P是圆C上的任意一点,求P,Q两点距离的最小值.
3.若动点(x,y)在曲线=1(b>0)上变化,求z=x2+2y的最大值和最小值.
4.(云南师大附中模拟)在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点M的极坐标为(),曲线C的参数方程为 (α为参数).
(1)求直线OM的直角坐标方程.
(2)求点M到曲线C上的点的距离的最小值.
5.(2021·太原模拟)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=,
(1)写出直线l的参数方程.
(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.
6.(2021·银川模拟)已知某圆的极坐标方程是ρ2-
4ρcos(θ-)+6=0,
求:(1)圆的一般方程和一个参数方程.
(2)圆上全部点(x,y)中xy的最大值和最小值.
7.(2021·开封模拟)平面直角坐标系中,将曲线(α为参数)上的每一点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(1)求C1的一般方程和C2的直角坐标方程.
(2)求C1和C2的公共弦的垂直平分线的极坐标方程.
8.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:x2+y2=1,将C1上的全部点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的,2倍后得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:
ρ(2cosθ-sinθ)=6.
(1)试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程.
(2)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.
9.(2021·河北五校联考)在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(a>b>0,φ为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知曲线C1上的点M(2,)对应的参数φ=,射线θ=与曲线C2交于点D(,).
(1)求曲线C1,C2的方程.
(2)已知A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+)是曲线C1上的两点,求的值.
10.(2022·新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是C1: (φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2, ).
(1)求点A,B,C,D的直角坐标.
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.

答案解析
1.【解析】设直线的参数方程为(t为参数),代入曲线方程x2+2y2=1,整理得
(1+sin2α)t2+(cosα)t+=0,
则|PM|·|PN|=|t1t2|=,
所以当sin2α=1,即α=时,|PM|·|PN|的最小值为,此时α=.
2.【解析】(1)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,
开放得x2+y2-2x+2y-2=0,
化为极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0.
(2)点Q的直角坐标为(2,-2),且点Q在圆C内,
由于|QC|=,所以P,Q两点距离的最小值为|PQ|=2-.
3.【解析】由于点(x,y)在曲线=1(b>0)上变化,故设(θ为参数),
∴x2+2y=(2cosθ)2+2bsinθ
=4cos2θ+2bsinθ
=-4sin2θ+2bsinθ+4
=-4(sinθ-)2+.
由于-1≤sinθ≤1,b>0,
当>1,即b>4时,zmax=2b,zmin=-2b;
当0<≤1,即0<b≤4时,zmax=,zmin=-2b.
综上所述,zmax=
zmin=-2b(b>0).
4.【解析】(1)由点M的极坐标为(),得点M的直角坐标为(4,4),
所以直线OM的直角坐标方程为y=x.
(2)由曲线C的参数方程(α为参数),
化成一般方程为:(x-1)2+y2=2,
圆心为A(1,0),半径为r=.
由于点M在曲线C外,
故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|-r=5-.
5.【解析】(1)直线的参数方程为(t为参数)
即(t为参数)
(2)把直线的参数方程(t为参数)代入x2+y2=4得
(1+t)2+(1+t)2=4,t2+(+1)t-2=0,
∴t1t2=-2,则点P到A,B两点的距离之积为2.
6.【解析】(1)由ρ2-4ρcos(θ-)+6=0,得
ρ2-4(ρcosθ·+ρsinθ·)+6=0,
∴x2+y2-4x-4y+6=0,即(x-2)2+(y-2)2=2.
参数方程为(θ为参数)
(2)xy=(2+cosθ)(2+sinθ)
=4+2(sinθ+cosθ)+2sinθcosθ
令sinθ+cosθ=t∈[-,]得
2sinθcosθ=t2-1,
xy=t2+2t+3=(t+)2+1,
∴当t=-时,(xy)min=1,
当t=时,(xy)max=9.
7.【解析】(1)横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到
(α为参数),化为一般方程为C1:(x-2)2+y2=4.
又C2为ρ=4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,得x2+y2=4y.
(2)由(x-2)2+y2=4,x2+y2=4y相减得x-y=0,
故两圆的公共弦的垂直平分线的斜率为k=-1.
又C1(2,0),C2(0,2),故C1C2的中点坐标为(1,1).
∴两圆的公共弦的垂直平分线方程为y-1=-(x-1),∴x+y=2,
将其上式化为极坐标方程为ρsin(θ+)=.
8.【解析】(1)由题意知,直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0,
∵曲线C2的直角坐标方程为()2+()2=1,
∴曲线C2的参数方程为(φ为参数).
(2)设点P的坐标为(cosφ,2sinφ),则点P到直线l的距离为
d=
∴当sin(φ-60°)=1,点P(-,1),此时
dmax=
9.【解析】(1)将M(2, )及对应的参数φ=代入(a>b>0,φ为参数),
得解得
∴曲线C1的方程为(φ为参数)
(或=1).
设圆C2的半径为r,则圆C2的方程为ρ=2rcosθ
将点D(,)代入得=2r·,∴r=1.
∴圆C2的方程为ρ=2cosθ(或(x-1)2+y2=1).
(2)将代入曲线C1: =1得极坐标方程为=1,
将A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+)代入,得
=1,=1,
∴
10.【解析】(1)由于曲线C2的极坐标方程ρ=2,所以曲线C2是圆心在极点,半径为2的圆,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,),故B(2,),
由对称性得,直角坐标分别为A(1, ),B(-,1),C(-1,- ),D(,-1).
(2)由于点P为曲线C1: (φ为参数)上任意一点,得P(2cosφ,3sinφ),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2
=(2cosφ-1)2+(3sinφ-)2+(2cosφ+)2+(3sinφ-1)2+(2cosφ+1)2+(3sinφ+)2+(2cosφ-)2+(3sinφ+1)2=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ
由于32≤32+20sin2φ≤52,
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围是[32,52].

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