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第三章 三角函数、解三角形
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是
( )
A．第一象限角 B．其次象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析 ∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．
答案 C
2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为
( )
A. B.
C. D．2
解析 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，∴α＝.
答案 C
3．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为
( )
A. B.
C. D.
解析 由sin ＞0，cos ＜0知角θ是第四象限的角，
∵tan θ＝＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝.
答案 D
4．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是
( )
A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0
C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0
解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排解A，C，D，故选B.
答案 B
5．给出下列命题：
①其次象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或其次象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cos θ<0，则θ是其次或第三象限的角．
其中正确命题的个数是
( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由于第一象限角370°不小于其次象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是其次象限角，故②错；③正确；由于sin ＝sin ，但与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是其次象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
答案 A
二、填空题
6．已知α是其次象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析 由α是其次象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．
答案 一
7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝______.
解析 由于sin θ＝＝－，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.
答案 －8
8．函数y＝的定义域为________．
解析
∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．
∴x∈(k∈Z)．
答案 (k∈Z)
三、解答题
9．已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a,4a)，其中a≠0，求sin α，cos α，
tan α.
解 r＝＝5|a|.
当a＞0时，r＝5a，
∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝；当a＜0时，r＝－5a，
∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
10．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解 设圆的半径为r cm，弧长为l cm，
则解得
∴圆心角α＝＝2弧度．
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度．
∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，
∴AB＝2sin 1 (cm)．
力气提升题组
(建议用时：35分钟)
11．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是
( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
解析 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在其次象限或y轴的正半轴上，所以有解得－2＜a≤3.
答案 A
12．已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tan α＝
( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析 圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tan α＝1.
答案 B
13．(2021·金华联考)函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域为________．
解析 要使原函数有意义，必需有：即如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(k∈Z)．
答案 (k∈Z)
14．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试推断tan sin cos的符号．
解 (1)由sin α＜0，知α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan α＞0，知α在第一、三象限，
故α角在第三象限，其集合为
.
(2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
故终边在其次、四象限．
(3)当在其次象限时，tan ＜0，sin ＞0，cos ＜0，
所以tan sin cos 取正号；
当在第四象限时，tan ＜0，sin ＜0，cos ＞0，
所以tan sin cos 也取正号．
因此，tan sin cos 取正号．
15．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得
解得或∴α＝＝或α＝＝6.
(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l·2r
≤2＝×2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴r＝2，∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
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