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随堂练习：平面对量的坐标运算（2）
1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；
④若a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论的个数是
2．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则m＝ n＝
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为
4．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a＝
5．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α、β∈(－，)，则α＋β＝______.
6．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为________．
7．在▱ABCD中，已知＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC，BD相交于O点，则的坐标是________．
8．已知点A(1,2)，B(2,5)，＝2，则点C的坐标为________．
9．已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3)，以、为一组基底来表示＋＋.
10．已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ (λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P在正比例函数y＝x的图像上？
(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围．
1.解析：由平面对量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；由于向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；a的坐标与终点坐标是以a的始点是原点为前提的，故④错误．
答案：1
2.解析：∵ma＋nb＝m(3，－1)＋n(－1,2)
＝(3m－n，－m＋2n)＝(10,0)，
∴∴m＝4，n＝2.
答案：m＝4，n＝2
3.解析：∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．
答案：(－2，－6)
4.解析：联立
①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)
∴a＝(－3,4)．
答案：(－3,4)
5.解析：∵＝(－1,1)＝(－，)＝(sin α，cos β)，
∴sin α＝－且cos β＝，∴α＝－，β＝或－.
∴α＋β＝或－.
答案：或－
6.解析：设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴解得
∴a＝e1＋e2.
答案：a＝e1＋e2
7.解析：＝－＝－(＋)
＝－[(－2,3)＋(3,7)]＝.
答案：(－，－5)
8.解析：∵＝(1,3)，∴＝(2,6)．
则＝＋＝(1,2)＋(2,6)＝(3,8)．
答案：(3,8)
9.解：∵→＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，
＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)
＝(－12,8)．
依据平面对量基本定理，肯定存在实数m、n，使得
＋＋＝m＋n，
∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，
即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，
∴∴
∴＋＋＝32－22.
10解：设P点坐标为(x1，y1)，则＝(x1－2，y1－3)．
＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)，
即＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)，
由＝＋λ，
可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
则解得
∴P点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝，
∴当λ＝时，P点在函数y＝x的图像上．
(2)由于点P在第三象限，∴解得λ＜－1，
∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．
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