2020-2021学年人教A版数学必修二课后练习：空间中的垂直关系-二.docx

学科：数学
专题：空间中的垂直关系
题1
推断下列命题的真假
(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；
(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且相互垂直的两直线，肯定分别与另一平面垂直．

题2
假如，，，那么．

题3
如图所示，已知平面平面=，为、外一点，于，于，于．证明：．

题4
如图，直角所在平面外有一点，，且为斜边的中点．
求证：平面．

题5
题面：
如图，四棱锥中，∥,，侧面为等边三角形．．证明：．

题6
如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且．求证：．

题7
一个多面体的直观图及三视图如图所示．(其中M、N分别是AF、BC的中点)．
(1)求证：MN∥平面CDEF；
(2)求多面体A—CDEF的体积．

题8
四棱锥P—ABCD的底面是始终角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．
(1)求证：BE∥平面PAD；(2)平面EBD能垂直于平面ABCD吗？为什么？
题9
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．

题10
平面内有一半圆，直径，过作平面，在半圆上任取一点，连、，且、分别是在、上的射影．
(1)求证：；
(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？
(3)这个图形中有多少个直角三角形？
(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？

课后练习详解
题1
答案：错误，错误．
详解：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体中，平面平面，平面平面，在上取点，连结，则，即过棱上一点的直线与棱垂直，但与平面不垂直，其错误的缘由是没有保证在平面内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；

(2)该命题留意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体中，平面平面，平面，平面，且，即与相互垂直，但与平面不垂直．

题2
答案：见详解．
详解：证法一：如图所示，设，，
过平面内一点作于，作于．

∵，∴．
又，∴，同理可证．
∵且，∴．
证法二：如图所示，

设，在平面内作直线．
∵，∴．
设，在平面内作直线．同理可证，因此．
由于，，∴．
而，，∴．
故由知，．
题3
答案：见详解．
详解：∵，，∴．∴、、、四点共面．
∵，，，∴，．
又，∴平面．∴．
题4
答案：见详解．
详解：∵，为中点
∴即
又，
∴≌≌
∴．即，，
∴平面．
题5
答案：见详解．
详解：证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2．
连结SE，则又SD=1，故

所以为直角．由，得
,所以．SD与两条相交直线AB、SE都垂直．
所以
题6
答案：见详解．
详解：由已知可得

于是有,
所以，又，所以平面，则

题7
答案：（1）见详解；（2）．
详解：由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE—BCF，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∠CBF＝90°．

(1)取BF的中点G，连结MG、NG，由M、N分别为AF、BC中点，可得NG∥CF，MG∥EF⇒面MNG∥面CDEF⇒MN∥面CDEF．
(2)取DE中点为H，连结AH，由于AD＝AE⇒AH⊥DE．
在直三棱柱ADE—BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，
面ADE∩面CDEF＝DE⇒AH⊥平面CDEF⇒多面体A—CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝，
S CDEF＝DE·EF＝4⇒棱锥A—CDEF的体积V＝S CDEF ·AH＝．
题8
答案：见详解．
详解：(1)如图所示，取PD的中点F，

连接EF，易证四边形ABEF是平行四边形，
∴BE∥AF．
又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．
(2)平面EBD不能垂直于平面ABCD，理由如下：假设平面EBD⊥底面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO，CO，由于A，O，C是P，E，C三点在平面ABCD上的射影，P，E，C三点均在直线PC上，故它们的射影也共线．
∵平面EBD⊥平面ABCD，EO⊂平面EBD，EO⊥BD，BD＝平面EBD∩平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，又PA⊥平面ABCD，
∴EO∥PA，而E为PC的中点，
∴O为AC的中点，又由AB∥CD，
可知△ABO∽△CDO，且相像比为1∶1，
∴AB＝CD，这与“四边形ABCD为梯形”冲突，
故假设不成立，从而平面EBD不能垂直于平面ABCD．
题9
答案：见详解．
详解：（1）由于D,E分别为AC,AB的中点，所以DE∥BC．又由于DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB．
（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC．所以DE⊥A1D,DE⊥CD．所以DE⊥平面A1DC．而A1F 平面A1DC,
所以DE⊥A1F．又由于A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE．所以A1F⊥BE
（3）线段A1B上存在点Q, 使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，

分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC．
又由于DE∥BC,所以DE∥PQ．所以平面DEQ即为平面DEP．
由（2）知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C．
又由于P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点，
所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ．
故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ．
题10
答案：(2) 4个；（3）11个；（4）11对
详解：留意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关学问进行推断．

(1)连、．如图所示，
∵为已知圆的直径，∴．
∵平面，，∴．
∵，∴平面．
∵平面，∴．
∵于，，∴平面．∴
∵于，∴平面，∴．
(2)：由(1)知，平面，平面，平面．
∵且，∴平面，
∴图中共有4个线面垂直关系．
(3)∵平面，∴、均为直角三角形．
∵平面，∴、均为直角三角形．
∵平面，∴、、均为直角三角形．
∵平面，∴、、、均为直角三角形．
综上，图中共有11个直角三角形．
(4)由平面知，，，．
由平面知，，，．
由平面知，，，．
由平面知，，．
综上，图中共有11对相互垂直的直线．
为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线面”可得到“线面内线”，当“线面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．