2020-2021学年人教A版数学必修二课后练习：空间中的平行关系-二.docx

学科：数学
专题：空间中的平行关系
题1
对于不重合的两直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是(　　)．
A．假如m⊂α，nα，m、n是异面直线，那么n∥α
B．假如m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
C．假如m⊂α，nα，m、n是异面直线，那么n与α相交
D．假如m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

题2
α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ．假如命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是(　　)．
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．只有②

题3
如图，在正方体中，为异面直线与的公垂线，求证：．

题4
ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．

题5
如图所示，在正方体中，是棱的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使//平面？证明你的结论．

题6
如图所示，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

题7
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B．

题8
如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．

(1)在正视图下面，依据画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)在所给直观图中连接BC′，证明：BC′∥平面EFG．

题9
假如平面与外一条直线都垂直，那么．

课后练习详解
题1
答案：B．
详解：如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB⊂平面AC，直线CC1平面AC，直线AB和直线CC1是异面直线，但是直线CC1∩平面AC＝C，排解A；直线AB⊂平面AC，直线B1C1平面AC，直线AB和直线B1C1是异面直线，但是直线B1C1∥平面AC，排解C；直线A1B1∥平面AC，直线B1C1∥平面AC，直线A1B1和直线B1C1共面，但是直线A1B1∩直线B1C1＝B1，排解D．

题2
答案：C．
详解：若填入①，则由a∥γ，b⊂β，b⊂γ，b＝β∩γ，又a⊂β，则a∥b；若填入③，则由a⊂γ，a＝α∩β，则a是三个平面α、β、γ的交线，又b∥β，b⊂γ，则b∥a；若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b⊂γ，画一草图可知，此时能有a∥γ，b∥β，但不肯定a∥b，有可能异面．从而A、B、D都不正确，只有C正确．
题3
证明：连结，由于，，
∴．
又，，
∴．　　　　①
∵，，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
而，∴．
同理，，
∴．　　　②
由①、②可知：．
题4
答案：见详解
详解：如图所示，连结AC交BD于O，连结MO，∵ABCD是平行四边形，

∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．
依据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
依据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．
题5
答案：见详解．
详解：（Ⅰ） 由于多面体为正方体，
所以；由于，所以．
又由于，，所以．
由于,所以平面平面．
（Ⅱ）当点F为中点时，可使//平面．

以下证明之：
易知：//，且，设，则//且
所以//且， 所以四边形为平行四边形．所以//．
又由于，．则//平面
题6
答案：见详解．
详解：当F是棱 PC的中点时，BF∥平面AEC．取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．
∵FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，
∴FM∥平面AEC，
由EM＝PE＝ED，得E是MD的中点．
连接BM，BD，设BD∩AC＝O，
则O是BD的中点，所以BM∥OE．
∵BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴BM∥平面AEC，∵FM∩BM＝M，
∴平面BFM∥平面AEC，
又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC．

题7
答案：见详解．
详解：证法一：如图，作ME∥BC，交B1B于E，作NF∥AD交AB于F，连接EF，则EF⊂平面AA1B1B．

∴＝，＝．
∵在正方体ABCD—A1B1C1D1中，CM＝DN，
∴B1M＝BN．
又∵B1C＝BD，∴＝＝．
∴ME＝NF．
又ME∥BC∥AD∥NF．
∴四边形MEFN为平行四边形．
∴MN∥EF，∴MN∥平面AA1B1B．
证法二：如图，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B1P，

则B1P⊂平面AA1B1B．
∵△NDC∽△NBP，∴＝．
又CM＝DN，B1C＝BD，∴＝＝．
∴MN∥B1P．
∵B1P⊂平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B．

题8
答案：见详解．
详解: (1)如图．

(2)在长方体ABCD­A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′．由于E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′．又EG⊂平面EFG，BC′⊄平面EFG，所以BC′∥平面EFG．

题9
答案：见详解．
详解：已知：直线，，．求证：．
(1)如图，若与相交，则由、确定平面，设．

．
(2)如图，若与不相交，
则在上任取一点，过作，、确定平面，设．

．