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突破练(二)
1．已知函数f(x)＝Asin (ωx－)(ω＞0)相邻两个对称轴之间的距离是，且满足f()＝.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)在钝角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sin B＝sin C，a＝2，f(A)＝1，求△ABC的面积．
解 (1)由题意知周期T＝π，∴ω＝2，
由于f＝，所以A＝2，f(x)＝2sin (2x－)，
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)由题意b＝c，f(A)＝2sin (2A－)＝1，
∴sin (2A－)＝，
∵ －＜2A－＜，∴A＝或，
由于△ABC为钝角三角形，所以A＝舍去，故A＝，
∵a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴4＝3c2＋c2－2c2×＝c2，
所以c＝2，b＝2，S△ABC＝×2×2×＝.
2．已知正项等比数列{an}满足a2＝，a4＝，n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝log3anlog3an＋1，求数列的前n项和Tn，
解 (1)设公比为q.∵＝＝q2，
∴q＝或q＝－.
又数列{an}为正项等比数列，∴q＝.
又∵a2＝. ∴a1＝，
∴an＝n，n∈N*.
(2)∵bn＝log3an·log3an＋1，n∈N*，
∴bn＝n(n＋1)，n∈N*.
∴＝＝－.
∴Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
3．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若广告费支出x与销售额y回归直线方程为＝6.5x＋a(a∈R)．
(1)试猜测当广告费支出为12万元时，销售额是多少？
(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其猜测值与实际值之差的确定值不超过5的概率．
解 (1)＝＝5，
＝＝50，
由于点(5,50)在回归直线上，代入回归直线方程求得a＝17.5，
所求回归直线方程为：＝6.5x＋17.5，
当广告支出为12时，销售额＝6.5×12＋17.5＝95.5.
(2)实际值和猜测值对应表为
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
30.5
43.5
50
56.5
69.5
在已有的五组数据中任意抽取两组的基本大事：(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个，
两组数据其猜测值与实际值之差的确定值都超过5的有(60,50)，
所以至少有一组数据其猜测值与实际值之差的确定值不超过5的概率为P＝1－＝.
4．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等边三角形，侧面AA1CC1是正方形，E是A1B的中点，F是棱CC1上的点．
(1)若F是棱CC1的中点时，求证：AE⊥平面A1FB；
(2)当VE－ABF＝9时，求正方形AA1C1C的边长．
(1)证明 取AB的中点为M，连接EF，EM，CM，
由于E是A1B的中点，F是棱CC1中点，
所以EM∥AA1，FC∥AA1，EM＝FC＝AA1，
则四边形EMCF是平行四边形，所以EF∥CM，
又由于△ABC为正三角形，侧面AA1C1C是正方形，
∴AA1＝AB，所以AE⊥A1B，CM⊥AB，
由于侧棱AA1⊥平面ABC，所以CM⊥AA1，
∴CM⊥平面A1AB，∴EF⊥平面A1AB，所以EF⊥AE，
又由于AE⊥A1B，A1B∩EF＝E，所以AE⊥平面A1FB.
(2)解 设正方形AA1C1C的边长为x，
由于E是A1B的中点，△EAB的面积为定值，
∵CC1∥平面AA1B，∴点F到平面EAB的距离为定值，
即为点C到平面AA1B的距离，
又VE－ABF＝VF－ABE，且VF－ABE＝S△ABE·h＝9.
即··x··x＝9，
∴x3＝216，∴x＝6.所以正方形的边长为6.
5．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－2y＋3＝0相切，点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足＝＋(1－)，设动点N的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．
解 (1)设动点N(x，y)，A(x0，y0)，由于AM⊥x轴于M，所以M(x0,0)，设圆C1的方程为x2＋y2＝r2，由题意得r＝＝3，所以圆C1的方程为x2＋y2＝9，
由题意，＝＋(1－)，
得(x，y)＝(x0，y0)＋(1－)(x0,0)，
所以即
将A(x，y)代入x2＋y2＝9，得动点N的轨迹方程＋＝1.
(2)由题意可设直线l：2x＋y＋m＝0，设直线l与椭圆＋＝1交于B(x1，y1)，D(x2，y2)，
联立方程得13x2＋12mx＋3m2－9＝0，
Δ＝144m2－13×4(3m2－9)＞0，解得m2＜39，
x1,2＝＝，
又由于点O到直线l的距离d＝，
BD＝·|x1－x2|＝·，
所以S△OBD＝···
＝＝≤(当且仅当m2＝39－m2即m2＝时取到最大值)．
所以△OBD面积的最大值为.
6．设函数f(x)＝ln x－x2－x.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若g(x)＝x，当x＞1时，g(x)在区间(n，n＋1)内存在极值，求整数n的值．
解 (1)f′(x)＝－x－＝(x＞0)，
令f′(x)＝0，解得x＝1(－2舍去)，
依据x，f′(x)，f(x)的变化状况列出表格：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
递增
极大值－
递减
由上表可知函数f(x)的单调增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)，
在x＝1处取得极大值－，无微小值．
(2)g(x)＝x＝xln x－x2＋x，
g′(x)＝ln x＋1－x＋1＝ln x－x＋2，
令h(x)＝ln x－x＋2，∴h′(x)＝－1＝，
由于x＞1，∴h′(x)＜0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)为单调递减函数，
由于h(1)＝1＞0，h(2)＝ln 2＞0，h(3)＝ln 3－1＞0，h(4)＝ln 4－2＜0.
所以h(x)在区间(3,4)上有零点x0，且函数g(x)在区间(3，x0)和(x0,4)上单调性相反，因此，当n＝3时，g(x)在区间(n，n＋1)内存在极值，所以n＝3.
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