2020-2021学年人教A版数学必修二课后练习：直线的综合问题-二.docx

学科：数学
专题：直线的综合问题
题1
一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，
则其倾斜角为(　　)
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α

题2
若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.
其中正确答案的序号是________．(写出全部正确答案的序号)

题3
过点A(0,1)作始终线l，使它夹在直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0间的线段
被A点平分，试求直线l的方程．

题4
(1)求经过点(1,1)且与直线 y＝2x＋7平行的直线方程；
(2)求经过点(0,2)且与直线 y＝－3x－5平行的直线方程；
(3)求经过点(－1,1)且与直线 y＝－2x＋7垂直的直线方程；
(4)求经过点(0，-2)且与直线 y＝3x－5垂直的直线方程．

题5
直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
题6
在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的
面积等于2，则a的值为(　　)
A．－5 B．1
C．2 D．3

题7
已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角．
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．
题8
若P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，求的最小值．

题9
已知实数，满足，求证：(a+2) 2+(b+2)2≥．

题10
已知直线 l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，

如图所示，求△ABO面积的最小值及此时直线 l 的方程.

题11
设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过其次象限，求实数a的取值范围．

题12
实数x、y满足不等式组，则ω＝的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．(－∞，0)
C．[－1，＋∞) D．[－1,1)

课后练习详解
题1
答案：D
详解:如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.

题2
答案：①⑤
详解:两平行线间的距离d＝＝，
又动直线m被l1与l2所截的线段长为2，则动直线m与两平行线的夹角为30°，所以直线m的倾斜角等于75°或15°.
题3
答案：x＋4y－4＝0.
详解:设直线l分别交l1、l2于点P(m，n)和Q(a，b)，
则由A为PQ的中点可得a＝－m，b＝2－n.即点Q坐标为(－m,2－n)．
又点P在l1上，则m－3n＋10＝0. ①
同理，点Q在l2上，则2m＋n＋6＝0. ②
由①②可得∴P(－4,2)．
∴利用两点式可得＝.
∴直线方程为x＋4y－4＝0.
题4
答案：(1) 2x－y－1＝0;
(2) 3x＋y－2＝0;
(3) x－2y＋3＝0;
(4) x＋3y＋6＝0.
详解:(1)由y＝2x＋7得k1＝2，
由两条直线平行知k1＝k2＝2，
利用点斜式得所求直线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
(2)由y＝－3x－5得k1＝－3，
由两条直线平行知k1＝k2＝－3.
利用斜截式得所求直线方程为y＝－3x＋2，
即3x＋y－2＝0.
(3)由y＝－2x＋7得k1＝－2，
由两直线垂直知k1k2＝－1，
∴k2＝.
∴利用点斜式得所求的直线方程为
y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.
(4)由y＝3x－5得k1＝3，由两直线垂直知k1k2＝－1，
∴k2＝－.
利用斜截式得所求直线方程为y＝－x－2，即x＋3y＋6＝0.
题5
答案：B
详解:方法一：设满足条件的点的坐标为(a，b)．
由题意可知，
解得或，
故满足条件的点有两个.

方法二：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x与y＝－x上，而直线7x＋3y－21＝0
与y＝x和y＝－x各有一个交点，故满足条件的点共两个．
题6
答案：D.
详解:由得A(1，a＋1)，
由得B (1,0)，
由得C (0,1)．
∵△ABC的面积为2，且a>－1，
∴S△ABC＝|a＋1|＝2，∴a＝3.
题7
答案：(1) kAB＝0, AB的倾斜角为0°;
kBC＝, BC的倾斜角为60°;
kAC＝, AC的倾斜角为30°;
(2) [，]．
详解:(1)由斜率公式得
kAB＝＝0，kBC＝＝.
kAC＝＝.在区间[0°，180°)范围内．

∵tan0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.
tan60°＝，∴BC的倾斜角为60°.
tan30°＝，∴AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，
直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，
所以k的取值范围为[，]．

题8
答案：
详解: ＝可看成是点P(a，b)与点(1,1)之间的距离．
又∵点P是直线x＋y＋1＝0上任一点，
∴即是点(1,1)与直线x＋y＋1＝0上任一点之间的距离，
因此，点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离即是的最小值．
由于点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为
d＝＝，
故的最小值为.
题9
答案：证明略.
详解:本题的几何意义是：直线上的点（，）与定点的距离的平方不小于．由于直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长度即距离，
所以，即．
题10
答案：(S△ABO)min=12，2x+3y-12=0.
详解: 方法一：设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l 的方程为
∵ 过点P(3,2),∴ ,且a＞3，
从而
，
当且仅当，即a=6时等号成立. (S△ABO)min=12，此时.
故直线l的方程为，即2x+3y-12=0.
方法二：依题意知，直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-2= k (x-3) (k<0),
则有A (3-,0), B (0,2-3k),

当且仅当-9k=，即k=-时等号成立，(S△ABO)min=12 .
故所求直线的方程为2x+3y-12=0.
方法三：如图所示，过P分别作x轴，y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.

设θ=∠PAM=∠BPN,则
S△ABO= S△PBN + S长方形NPMO + S△PMA

当且仅当，即tanθ=时, (S△ABO)min=12 ,
此时直线l的斜率为-，其方程为2x+3y-12=0.
题11
答案：(1)3x＋y＝0或x＋y＋2＝0;
(2) a≤－1.
详解:(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．
∴a＝2，方程为3x＋y＝0，
若a≠2，则＝a－2，即a＝0，
方程为x＋y＋2＝0.
∴直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或，
∴a≤－1.

题12
答案：D
详解:如图所示，的几何意义为点(0,1)与可行域内点连线的斜率．
斜率的取值范围为[－1,1)．