资源描述
[基础达标]
1．(2022·广东省惠州市调研考试)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(，)，则log4f(2)的值为( )
A． B．－
C．2 D．－2
解析：选A．设f(x)＝xα，由其图象过点(，)得()α＝＝()⇒α＝，故log4f(2)＝log42＝.
2．(2022·湖北黄冈中学质检)幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值状况为( )
A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m
C．－1＜m＜0＜n D．－1＜n＜0＜m＜1
答案：D
3．(2021·高考浙江卷)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋C．若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
解析：选A．由于f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0.
4．(2022·广东江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是( )
A．0＜α＜1 B．α＜1
C．α＞0 D．α＜0
解析：选B．当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象．由图象可知α＜1时满足题意．
5．(2022·广东中山一模)若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a等于( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：选B．∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，
∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
∴或，解得a＝1.
6．二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．
解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，
又其图象过点(0，1)，
∴4a－1＝1，∴a＝.
∴f(x)＝(x－2)2－1.
答案：f(x)＝(x－2)2－1
7．(2022·山东师大附中高三期中)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件．
解析：函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－＝2a≤2，即a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
8．已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________．
解析：∵0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7，
∴0.71.3＜1.30.7，
∴m＞0.
答案：(0，＋∞)
9．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．
解：∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1.
∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不愿定在区间[－2，a]内，应进行争辩．
当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减．
则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.
综上，g(a)＝
10．是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2.
当a＜－1时，f(x)在[－1，1]上为增函数，
∴⇒a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，⇒a＝－1；
当0＜a≤1时，⇒a不存在；
当a＞1时，f(x)在[－1，1]上为减函数，
∴⇒a不存在．
综上可得，a＝－1.
∴存在实数a＝－1满足题设条件．
[力气提升]
1．已知y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( )
A． B．
C． D．1
解析：选D．当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2.
∵x∈，
∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，
∴m≥1，n≤0，m－n≥1.
2．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)，若x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则( )
A．f(x1)＝f(x2)
B．f(x1)＜f(x2)
C．f(x1)＞f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析：选B．函数的对称轴为x＝－1，
设x0＝，由0＜a＜3得到－1＜＜.
又x1＜x2，用单调性和离对称轴的远近作推断．
3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．
解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，
所以f(x)min＝1.
又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，
当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，
即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.
答案：－1或3
4．(2022·江苏扬州中学期中)已知函数f(x)＝若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由已知∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则需x≤1时，f(x)不单调即可，即对称轴＜1，解得a＜2.
答案：(－∞，2)
5. (2022·辽宁五校其次次联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请依据图象：
(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，求函数g(x)的最小值．
解：(1)f(x)在区间(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增．
(2)设x＞0，则－x＜0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)，
∴f(x)＝
(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；
当1＜a＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1为最小值；
当a＋1＞2，即a＞1时，g(2)＝2－4a为最小值．
综上，g(x)min＝
6．(选做题)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，
∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2，0]．
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