资源描述
[基础达标]
1．(2022·海淀区期中练习)已知曲线f(x)＝ln x在点(x0，f(x0))处的切线经过点(0，－1)，则x0的值为( )
A． B．1
C．e D．10
解析：选B．依题意得，题中的切线方程是y－ln x0＝(x－x0)；又该切线经过点(0，－1)，于是有－1－ln x0＝(－x0)，由此得ln x0＝0，x0＝1.
2．(2022·河南郑州市质量检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( )
A．1 B．－1
C．－e－1 D．－e
解析：选C．依题意得，f′(x)＝2f′(e)＋，取x＝e得f′(e)＝2f′(e)＋，由此解得f′(e)＝－＝－e－1.
3．(2022·河南郑州市质量猜想)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：选C．∵直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋A．
∴
4．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数
解析：选C．由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，
即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
5．(2022·东北三校联考)已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为( )
A． B．
C．1 D．4
解析：选A．由题意可知f′(x)＝x－，g′(x)＝，由f′()＝g′()，得×()－＝，可得a＝，经检验，a＝满足题意．
6．(2021·高考广东卷)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________．
解析：函数y＝kx＋ln x的导函数为y′＝k＋，由导数y′|x＝1＝0，得k＋1＝0，则k＝－1.
答案：－1
7．函数y＝的导数为________．
解析：y′＝＝.
答案：
8．(2022·广东广州市调研)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xln x的切线，则实数m的值为________．
解析：设切点为(x0，x0ln x0)，由y′＝(xln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1，得切线的斜率k＝ln x0＋1，故切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，整理得y＝(ln x0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得，解得x0＝e，故m＝－e.
答案：－e
9．求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝3sin 4x.
解：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(2)y′＝(x＋1)′(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.
(3)y′＝(3sin 4x)′＝3cos 4x·(4x)′＝12cos 4x.
10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，
∴斜率最小的切线过，
斜率k＝－1，
∴斜率最小的切线方程为x＋y－＝0.
(2)由(1)得k≥－1，
∴tan α≥－1，
∴α∈∪.
[力气提升]
1．(2022·河南洛阳统考)已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′()，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为( )
A．3x－y－2＝0
B．4x－3y＋1＝0
C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0
D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0
解析：选A．由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，则a＝f′()＝3－2sin＋2cos＝1.由y＝x3得y′＝3x2，过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1，1)，故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
2．(2022·河南商丘调研)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝( )
A．0 B．26
C．29 D．212
解析：选D．∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
∴f′(x)＝x′(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′
＝(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′，
∴f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.
3．(2022·广东广州调研)设f1(x)＝cos x，定义fn＋1(x)为fn(x)的导数，即fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*，若△ABC的内角A满足f1(A)＋f2(A)＋…＋f2 015(A)＝－1，则sin A的值是________．
解析：∵f1(x)＝cos x，∴f2(x)＝[f1(x)]′＝－sin x，f3(x)＝[f2(x)]′＝－cos x，f4(x)＝[f3(x)]′＝sin x，f5(x)＝[f4(x)]′＝cos x，…，∴fn(x)＋fn＋1(x)＋fn＋2(x)＋fn＋3(x)＝0，∴f1(A)＋f2(A)＋…＋f2 015(A)＝f1(A)＋f2(A)＋f3(A)＝－sin A＝－1，
∴sin A＝1.
答案：1
4．(2022·浙江宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″ (x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．
①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.
解析：①中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin＜0在区间上恒成立；②中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在区间上恒成立；③中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在区间上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在区间上恒成立，故④中函数不是凸函数．
答案：①②③
5．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)假如曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
∴或
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
6．(选做题)已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值．并推断两条切线是否为同一条直线．
解：依据题意有：
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－A．
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，
得y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，
得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以两条切线不是同一条直线．
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