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单元评估检测(九)
第九、十章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021·成都模拟)某校数学教研组为了解同学学习数学的状况,接受分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中,抽取35人进行问卷调查,已知高二被抽取的人数为13人,则n等于 ( )
A.660 B.720 C.780 D.800
【解析】选B.由已知,抽样比为=,所以有=,n=720.
2.已知样本容量为30,在样本频率分布直方图(如图)中,各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1,则第2组的频率和频数分别为 ( )
A.0.4,12 B.0.6,16
C.0.4,16 D.0.6,12
【解析】选A.由于小长方形的高的比等于面积之比,
所以从左到右各组的频率之比为2∶4∶3∶1,
由于各组频率之和为1,
所以其次组的频率为1×=0.4,
由于样本容量为30,
所以其次组的频数为30×=12.
3.(2021·周口模拟)执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为2,则输出的x的值为 ( )
A.3 B.126
C.127 D.128
【解析】选C.依题设可知:第一次循环x=22-1=3≥126不成立;
其次次x=23-1=7≥126不成立,第三次x=27-1=127≥126成立,结束循环.
4.(2021·太原模拟)如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图,则由图可估量样本质量的中位数为 ( )
A.11 B.11.5 C.12 D.12.5
【解析】选C.第一块的面积为0.06×5=0.3,其次块的面积为0.5,所以第三块的面积为0.2,依据中位数左右两侧的面积相等,也就是概率相等,所以中位数为12.
5.把标有号码1,2,3,…,10的10个乒乓球放在一个箱子中,摇匀后,从中任意取一个,号码为小于7的奇数的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由于全部机会均等的可能共有10种,而号码小于7的奇数有1,3,5,共3种,所以抽到号码为小于7的奇数的概率是.
6.(2021·武汉模拟)某车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如下:
加工零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(分钟)
64
69
75
82
90
经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量,下列推断正确的是 ( )
A.成正相关,其回归直线经过点(30,75)
B.成正相关,其回归直线经过点(30,76)
C.成负相关,其回归直线经过点(30,76)
D.成负相关,其回归直线经过点(30,75)
【解析】选B.由表格数据知,加工时间随加工零件的个数的增加而增加,故两变量为正相关,
又由=×(10+20+30+40+50)=30,
=×(64+69+75+82+90)=76,
故回归直线过样本中心点(30,76).
7.(2021·郑州模拟)已知函数f(x)=ax2-bx-1,其中a∈(0,2],b∈(0,2],在其取值范围内任取实数a,b,则函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由f′(x)=2ax-b>0得x>,从而≤1,即b≤2a.由于点集(a,b)在区域a∈(0,2],b∈(0,2]中,故可行区域的面积为S=4,而满足条件b≤2a的区域面积为S′=4-×2×1=3,从而所求概率为P=.
8.在线段AB上任取一点P,以P为顶点,B为焦点作抛物线,则该抛物线的准线与线段AB有交点的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意,要使该抛物线的准线与线段AB有交点,则需使点P在线段AB的中点与B之间,故由几何概型得,所求概率为P=.
9.(2021·宁波模拟)某校数学复习考有400位同学参与,评分后校方将此400位同学依总分由高到低排序如下:前100人为A组,次100人为B组,再次100人为C组,最终100人为D组.
校方进一步逐题分析同学答题情形,将各组在填充第一题(考排列组合)和填充其次题(考空间概念)的答对率列表如下:
A组
B组
C组
D组
第一题答对率
100%
80%
70%
20%
其次题答对率
100%
80%
30%
0%
则下列选项正确的是 ( )
A.第一题答错的同学,不行能属于B组
B.从其次题答错的同学中随机抽出一人,此人属于B组的概率大于0.5
C.全体同学第一题的答对率比全体同学其次题的答对率低15%
D.从C组同学中随机抽出一人,此人第一﹑二题都答对的概率不行能大于0.3
【解析】选D.由于B组第一题答对率不是100%,所以第一题答错的同学有可能属于B组,故A错误;由于A,B,C,D四组答错其次题的人数分别是0,20,70,100,所以随机抽出一人,此人属于B组的概率为=<0.5,故B错误;
由于全体第一题与其次题答对率分别为
P1===,
P2===,
所以P1-P2=-==15%,故C错误;
由于在C组中,两题都答对的最大值为30%,即30人,所以从C组中随机抽出一人,此人两题都答对的概率不行能大于=0.3.故D正确.
10.以下几个结论:
①某校高三一班和高三二班的人数分别是m,n,某次测试数学平均分分别是a,b,则这两个班的数学平均分为;
②若x1,x2,…,x10的平均数为a,方差为b,则x1+5,x2+5,…,x10+5的平均数为a+5,方差为b+25;
③从总体中抽取的样本(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则回归直线=x+至少过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的某一个点;
其中正确结论的个数有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选A.①这两个班的数学平均分应为;②x1+5,x2+5,…,x10+5的方差为b;③回归直线=x+不愿定过样本点.
11.(2021·南昌模拟)某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的同学人数,依据所得数据的茎叶图,以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图如图所示,则原始茎叶图可能是 ( )
【解析】选A.由频率分布直方图可知:
[0,5)的频数为20×0.01×5=1个,
[5,10)的频数为20×0.01×5=1个,
[10,15)的频数为20×0.04×5=4个,
[15,20)的频数为20×0.02×5=2个,
[20,25)的频数为20×0.04×5=4个,
[25,30)的频数为20×0.03×5=3个,
[30,35)的频数为20×0.03×5=3个,
[35,40]的频数为20×0.02×5=2个,
则对应的茎叶图为A,故选A.
12.已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域Ω上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由于区域Ω内的点所围的面积是18个单位,而集合A中的点所围成的面积S△OCD=4.所以向区域Ω上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.某个班级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该班级全体同学中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为 .
【解析】设样本中男生人数为n,则有=,解得n=160.
答案:160
14.(2021·杭州模拟)用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成果(成果为两位整数),若乙有一次不少于90分的成果未记录,则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为 .
【解析】由茎叶图可得,甲的5次综合测评成果分别为88,89,90,91,92,则甲的平均成果为:(88+89+90+91+92)=90.
设未记录数字的个位为x,则乙的5次综合测评成果分别为83,83,87,99,90+x.则乙的平均成果为:
(83+83+87+99+90+x)=88.4+.
当x=9时,甲的平均数<乙的平均数,即乙的平均成果超过甲的平均成果的概率为,
当x=8时,甲的平均数=乙的平均数,即乙的平均成果不小于甲的平均成果的概率为,
所以甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为1--=.
答案:
15.在区间[-5,5]内随机地取出一个数a,使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的概率为 .
【解析】由1∈{x|2x2+ax-a2>0},得a2-a-2<0,
解得-1<a<2,所以所求概率为.
答案:
16.(2021·长沙模拟)从区间[-5,5]内随机取出一个数x,从区间[-3,3]内随机取出一个数y,则使得|x|+|y|≤4的概率为 .
【解析】从区间[-5,5]内随机取出一个数x,从区间[-3,3]内随机取出一个数y,对应的区域面积为60,使得|x|+|y|≤4,落在矩形内的部分如图阴影部分所示,
面积为2××(2+8)×3=30,
所以所求概率为=.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021·沈阳模拟)某中学甲、乙两班共有25名同学报名参与了一项测试.如图是这25位同学的考分编成的茎叶图,其中有一个数据因电脑操作员不当心删掉了(这里暂用x来表示),但他清楚地记得两班同学成果的中位数相同.
(1)求这两个班同学成果的中位数及x的值.
(2)假如将这些成果分为“优秀”(得分在175分以上,包括175分)和“过关”,若学校再从这两个班获得“优秀”成果的考生中选出3名代表学校参与竞赛,求这3人中甲班至多有一人入选的概率.
【解析】(1)甲班同学成果的中位数为(154+160)=157,乙班同学成果的中位数正好是150+x=157,故x=7.
(2)用A表示大事“甲班至多有1人入选”.设甲班两位优生为A,B,乙班三位优生为1,2,3.则从5人中选出3人的全部方法种数为:(A,B,1),(A,B,2),(A,B,3),
(A,1,2),(A,1,3),(A,2,3),(B,1,2),(B,1,3),(B,2,3),(1,2,3)共10种状况,其中至多1名甲班同学的状况共(A,1,2),(A,1,3),(A,2,3),(B,1,2),(B,1,3),
(B,2,3),(1,2,3)7种,
由古典概型概率计算公式可得P(A)=.
18.(12分)(2021·济南模拟)某公司有男职员45名,女职员15名,依据分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组.
(1)求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数.
(2)经过一个月的学习、争辩,这个科研攻关组打算选出两名职员做某项试验,方法是先从小组里选出1名职员做试验,该职员做完后,再从小组内剩下的职员中选一名做试验,求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率.
(3)试验结束后,第一次做试验的职员得到的试验数据为68,70,71,72,74,其次次做试验的职员得到的试验数据为69,70,70,72,74,请问哪位职员的试验更稳定?并说明理由.
【解析】(1)P==,
所以某职员被抽到的概率为.
设抽到的有x名男职员,则=,所以x=3,
所以抽到的男、女职员的人数分别为3,1.
(2)把3名男职员和1名女职员记为a1,a2,a3,b,则选取两名职员的基本大事有
(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1),
(b,a2),(b,a3)共12种,其中有一名女职员的有6种,
所以选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为P==.
(3)==71,
==71,
==4,
==3.2.
其次次做试验的职员做的试验更稳定.
19.(12分)有编号为A1,A2,…,A10的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品.
(1)从上述10个零件中,随机抽取1个,求这个零件为一等品的概率.
(2)从一等品零件中,随机抽取2个.
①用零件的编号列出全部可能的抽取结果;
②求这2个零件直径相等的概率.
【解析】(1)由所给数据可知,一等品零件共有6个.设“从10个零件中,随机抽取1个为一等品”为大事A,则P(A)==.
(2)①一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个,全部可能的结果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},
{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有15种.
②“从一等品零件中,随机抽取的2个零件直径相等”(记为大事B)的全部可能结果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有6种,所以P(B)==.
20.(12分)(2021·长沙模拟)某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名,25周岁以下的工人200名.为争辩工人的日平均生产量是否与年龄有关,现接受分层抽样的方法,从中抽取100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分成两组,并将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名,求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率.
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你依据已知条件作出2×2列联表,并推断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”?
附表及公式:
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
K2=
【解析】(1)由已知得,样本中25周岁以上的工人有60名,25周岁以下的工人有40名,所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上的工人有60×0.05=3(名),记为A1,A2,A3,25周岁以下的工人有40×0.05=2(名),记为B1,B2.
从中随机任取2名工人,全部可能的结果为:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),
(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种.
其中,至少抽到一名25周岁以下的工人的可能的结果为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共7种.
故所求概率P=.
(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,25周岁以上的生产能手有60×0.25=15(名),25周岁以上的生产能手有40×0.375=15(名).
据此可得2×2列联表如下:
生产能手
非生产能手
总计
25周岁以上
15
45
60
25周岁以下
15
25
40
总计
30
70
100
所以K2的观测值k==≈1.79.
由于1.79<2.706,所以没有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”.
21.(12分)(2021·珠海模拟)为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成果,从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名同学的成果(单位:分)作样本,如图是样本的茎叶图:
(1)分别计算甲、乙两个班级数学成果的样本平均数.
(2)从甲、乙两个班级数学成果的样本中各随机抽取1名同学的数学成果,求抽到的成果之差的确定值不低于20的概率.
【解析】(1)甲班数学成果的样本平均数为:=(91+102+114+122+123)=110.4.
乙班数学成果的样本平均数为:
=(94+103+112+113+125)=109.4.
(2)依据题意,从甲、乙两个班级数学成果的样本中各随机抽取1名同学的数学成果分别设为x和y,构成一对有序数组(x,y),则基本大事的总数为25,
设大事A:抽到的成果之差的确定值不低于20,
则大事A包含的基本大事为(91,112)(91,113)(91,125)(102,125)(114,94)
(122,94)(123,94)(123,103),共有8个.P(A)=.
从甲、乙两个班级数学成果的样本中各随机抽取1名同学的数学成果,抽到的成果之差的确定值不低于20的概率为.
22.(12分)某校高三班级有男同学105人,女同学126人,老师42人,用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查,设其中某项问题的选择,分别为“同意”、“不同意”两种,且每人都做了一种选择,下面表格中供应了被调查人答卷状况的部分信息.
同意
不同意
总计
老师
1
女同学
4
男同学
2
(1)完成此统计表.
(2)估量高三班级同学“同意”的人数.
(3)从被调查的女同学中选取2人进行访谈,求选到两名同学中恰有一人“同意”,一人“不同意”的概率.
【解析】(1)
同意
不同意
总计
老师
1
1
2
女同学
2
4
6
男同学
3
2
5
(2)×126+×105=105(人).
(3)设“同意”的两名同学编号为1,2,“不同意”的四名同学编号为3,4,5,6,选出两人共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种结果,
其中(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)共8种结果满足题意.每个结果毁灭的可能性相等,所以恰好有1人“同意”,一人“不同意”的概率为.
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