资源描述
[基础达标]
1．函数f(x)＝图象的对称中心为( )
A．(0，0) B．(0，1)
C．(1，0) D．(1，1)
解析：选B．f(x)＝＝1＋，把函数y＝的图象向上平移1个单位，即得函数f(x)的图象．由y＝的对称中心为(0，0)，可得平移后的f(x)图象的对称中心为(0，1)．
2．(2022·山东滨州一模)函数y＝(x∈(－π，0)∪(0，π))的图象大致是( )
解析：选A．函数为偶函数，所以图象关于y轴对称，排解B，C，当x→π时，y→＝0.
3．(2022·广东揭阳模拟)设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则关于函数y＝的单调区间表述正确的是( )
A．在[－1，1]上单调递增
B．在(0，1]上单调递减，在[1，3)上单调递增
C．在[5，7]上单调递增
D．在[3，5]上单调递增
解析：选B．由题图可知，f(0)＝f(3)＝f(6)＝0，所以函数y＝在x＝0，x＝3，x＝6时无定义，故排解A、C、D．
4．(2022·安徽合肥调研)已知f(x)＝，则下列函数的图象错误的是( )
解析：选D．先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个长度单位即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是[0，2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1，1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确．
5．f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0，1) D．(－∞，＋∞)
解析：选A．x≤0时，f(x)＝2－x－1，
0＜x≤1时，
－1＜x－1≤0，
f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.
故x＞0时，f(x)是周期函数，
如图所示．
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，
则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a＜1，即a的取值范围是(－∞，1)．
6. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f()的值为________．
解析：由图象知f(3)＝1，∴＝1，
∴f()＝f(1)＝2.
答案：2
7．(2022·山东日照一模)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.
作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
答案：5
8．(2022·山东烟台模拟)已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，且在[－1，3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是________．
解析：由题意作出f(x)在[－1，3]上的示意图如图，记y＝k(x＋1)＋1，
∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1，1)．记B(2，0)，由图象知，方程有四个根，即函数y＝f(x)与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，故kAB＜k＜0，kAB＝＝－，∴－＜k＜0.
答案：
9．已知函数f(x)＝2x，x∈R.当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
解：
令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0＜m＜2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．
10．已知函数f(x)＝
(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示：
(2)函数的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]．
[力气提升]
1．(2022·河北唐山高三月考)为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x的图象上全部的点( )
A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位
B．横坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位
C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位
D．纵坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位
解析：选A．y＝log2＝log2(x－1)＝log2(x－1)，由y＝log2x的图象纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y＝log2x的图象，再向右平移1个单位，可得y＝log2(x－1)的图象，也即y＝log2的图象．
2．(原创题)函数f(x)的图象如图所示，若函数y＝2f(x－1)－c与x轴有四个不同交点，则c的取值范围是( )
A．(－1，2.5) B．(－1，5)
C．(－2，2.5) D．(－2，5)
解析：选D．函数y＝2f(x－1)－c与x轴有四个不同交点，即方程2f(x－1)－c＝0有四个不同的解，即y＝f(x－1)，y＝c有四个不同的交点，由于函数y＝f(x－1)与函数y＝f(x)上下分布相同，所以可以把问题转化为c取何值时，曲线f(x)与y＝c有四个不同的交点，结合图形可知c∈(－2，5)．
3. 如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
解析：当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，
则得∴y＝x＋1.
当x＞0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝，
∴y＝(x－2)2－1.
答案：f(x)＝
4．(2021·高考四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
解析：
设x<0，则－x>0.
∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，
∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．
∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，
∴f(x)＝
由f(x)＝5得或
∴x＝5或x＝－5.
观看图象可知由f(x)<5，得－5<x<5.
∴由f(x＋2)<5，得－5<x＋2<5，∴－7<x<3.
∴不等式f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．
答案：{x|－7<x<3}
5．设函数f(x)＝x＋(x∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C1，C1关于点A(2，1)的对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．
(1)求函数y＝g(x)的解析式，并确定其定义域；
(2)若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标．
解：(1)设P(u，v)是y＝x＋上任意一点，
∴v＝u＋①.设P关于A(2，1)对称的点为Q(x，y)，
∴⇒
代入①得2－y＝4－x＋
⇒y＝x－2＋，
∴g(x)＝x－2＋(x∈(－∞，4)∪(4，＋∞))．
(2)联立⇒x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0，
∴Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0⇒b＝0或b＝4.
∴当b＝0时得交点(3，0)；当b＝4时得交点(5，4)．
6．(选做题)(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；
(2)若函数f(x)＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．
解：(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，
则y0＝f(x0)．
又P点关于x＝m的对称点为P′，
则P′的坐标为(2m－x0，y0)．
由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得
f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]
＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.
即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上．
∴y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．
(2)对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．
∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，
即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．
又∵a≠0，∴2a－1＝0，得a＝.
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