《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：2.9等差、等比数列的综合应用-练习.docx

1.数列an是首项为a1=1,公差为d=3的等差数列,假如an=2005,则序号n等于().A.667B.668C.669D.670【解析】由题意有an=1+3(n-1),假如an=2005,则1+3(n-1)=2005,故n=669.【答案】C2.已知由正数组成的等比数列an中,公比q=2,a1a2a3a30=245,则a1a4a7a28等于().A.25B.210C.215D.220【解析】由等比数列的性质有a2a5a8a29=a1a4a7a28210,a3a6a9a30=a1a4a7a28220,故a1a4a7a28=25.【答案】A3.设数列an,bn都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=.【解析】由等差数列的性质有a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,(a1+b1)+(a5+b5)=2(a3+b3),a5+b5=42-7=35.【答案】354.有两个等差数列2,6,10,190及2,8,14,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的挨次组成一个新数列,求这个新数列an的通项公式an.【解析】分析可得新数列仍为等差数列,且首项为2,又两数列的公差分别为4和6,而新数列的公差为4和6的最小公倍数12,故an=2+(n-1)12=12n-10.5.等比数列an满足a1=1,且,成等差数列,则数列an的前10项和为().A.10B.20C.256D.510【解析】设等比数列an的公比为q,由条件可得=+,即=+1,解之得q=1,故an=1,前10项的和为10.【答案】A6.已知数列an是首项为2,公差为1的等差数列,数列bn是首项为1,公比为2的等比数列,则数列前10项的和等于().A.511B.512C.1023D.1033【解析】an=2+(n-1)1=n+1,bn=12n-1=2n-1,依题意可令Mn=a1+a2+a4+=(1+1)+(2+1)+(2n-1+1)=2n-1+n,M10=210+10-1=1033.【答案】D7.若两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且满足=,则=.【解析】=.【答案】8.在数列an中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=,证明:数列bn是等差数列;(2)求数列an的前n项和Sn.【解析】(1)由an+1=2an+2n,两边同除以2n,得=+1.-=1,即bn+1-bn=1,bn是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)得,bn=n.an=n2n-1,Sn=20+221+322+n2n-1,2Sn=21+222+(n-1)2n-1+n2n.由-得-Sn=20+21+22+2n-1-n2n=-n2n=(1-n)2n-1,Sn=(n-1)2n+1.9.同学们都有这样的解题阅历:在某些数列的求和中,可把其中一项分裂成两项之差,使得某些项可以相互抵消,从而实现化简求和.如:已知数列an的通项为an=,则将其通项化为an=-,故数列an的前n项和Sn=(1-)+(-)+(-)=1-=.“斐波那契数列”是数学史上一个出名的数列,在斐波那契数列an中,a1=1,a2=1,an+an+1=an+2(nN*),若a2021=a,那么数列an的前2011项的和是.【解析】由已知有a1+a2=a3,a2+a3=a4,a2 011+a2 012=a2 013,各式相加,得a2+a1+a2+a3+a2 011=a2 013,故数列an的前2011项和为a-1.【答案】a-110.已知数列an为等差数列,且a1=1,bn为等比数列,数列an+bn的前三项依次为3,7,13.求(1)数列an,bn的通项公式;(2)数列anbn的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,等差数列bn的首项为b1,公比为q,依据已知条件可得b1=2,d=2,q=2,an=2n-1,bn=2n.(2)由于an为等差数列,bn为等比数列,所以数列anbn的前n项和Sn可以表示为:Sn=12+322+523+(2n-1)2n,2Sn=122+323+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1,-得:-Sn=12+222+223+22n-(2n-1)2n+1=2(2+22+23+2n)-2-(2n-1)2n+1=2-2-(2n-1)2n+1=-6-(2n-3)2n+1,Sn=(2n-3)2n+1+6.