《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：2.9等差、等比数列的综合应用-练习.docx

1.数列{an}是首项为a1=1,公差为d=3的等差数列,假如an=2005,则序号n等于(　　).
A.667　　　B.668　　　C.669　　　D.670
【解析】由题意有an=1+3(n-1),假如an=2005,则1+3(n-1)=2005,故n=669.
【答案】C
2.已知由正数组成的等比数列{an}中,公比q=2,a1·a2·a3·…·a30=245,则a1·a4·a7·…·a28等于(　　).
A.25 B.210 C.215 D.220
【解析】由等比数列的性质有a2·a5·a8·…·a29=a1·a4·a7·…·a28·210,a3·a6·a9·…·a30=a1·a4·a7·…·a28·220,
故a1·a4·a7·…·a28==25.
【答案】A
3.设数列{an},{bn}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=　　　　. 
【解析】由等差数列的性质有a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,
∴(a1+b1)+(a5+b5)=2(a3+b3),
∴a5+b5=42-7=35.
【答案】35
4.有两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的挨次组成一个新数列,求这个新数列{an}的通项公式an.
【解析】分析可得新数列仍为等差数列,且首项为2,又两数列的公差分别为4和6,而新数列的公差为4和6的最小公倍数12,故an=2+(n-1)×12=12n-10.

5.等比数列{an}满足a1=1,且,,成等差数列,则数列{an}的前10项和为(　　).
A.10 B.20 C.256 D.510
【解析】设等比数列{an}的公比为q,由条件可得=+,即=+1,解之得q=1,故an=1,前10项的和为10.
【答案】A
6.已知数列{an}是首项为2,公差为1的等差数列,数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,则数列{}前10项的和等于(　　).
A.511 B.512 C.1023 D.1033
【解析】an=2+(n-1)×1=n+1,bn=1×2n-1=2n-1,
依题意可令Mn=a1+a2+a4+…+
=(1+1)+(2+1)+…+(2n-1+1)
=2n-1+n,
∴M10=210+10-1=1033.
【答案】D
7.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且满足=,则=　　　　. 
【解析】=====.
【答案】
8.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设bn=,证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)由an+1=2an+2n,两边同除以2n,
得=+1.
∴-=1,即bn1-bn=1,
∴{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)由(1)得,bn=n.
∴an=n·2n-1,
∴Sn=20+2×21+3×22+…+n×2n-1,①
∴2Sn=21+2×22+…+(n-1)2n-1+n·2n.②
由①-②得-Sn=20+21+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1,
∴Sn=(n-1)·2n+1.

9.同学们都有这样的解题阅历:在某些数列的求和中,可把其中一项分裂成两项之差,使得某些项可以相互抵消,从而实现化简求和.如:已知数列{an}的通项为an=,则将其通项化为an=-,故数列{an}的前n项和Sn=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.“斐波那契数列”是数学史上一个出名的数列,在斐波那契数列{an}中,a1=1,a2=1,an+an+1=an+2(n∈N*),若a2021=a,那么数列{an}的前2011项的和是　　　　. 
【解析】由已知有a1+a2=a3,a2+a3=a4,…,a2 011+a2 012=a2 013,各式相加,得a2+a1+a2+a3+…+a2 011=a2 013,故数列{an}的前2011项和为a-1.
【答案】a-1
10.已知数列{an}为等差数列,且a1=1,{bn}为等比数列,数列{an+bn}的前三项依次为3,7,13.求
(1)数列{an},{bn}的通项公式;
(2)数列{anbn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等差数列{bn}的首项为b1,公比为q,
依据已知条件可得
⇒b1=2,d=2,q=2,
∴an=2n-1,bn=2n.
(2)由于{an}为等差数列,{bn}为等比数列,所以数列{anbn}的前n项和Sn可以表示为:
Sn=1·2+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,①
∴2Sn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,②
①-②得:-Sn=1·2+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1
=2(2+22+23+…+2n)-2-(2n-1)·2n+1
=2·-2-(2n-1)·2n+1
=-6-(2n-3)·2n+1,
∴Sn=(2n-3)·2n+1+6.