资源描述
[基础达标]
1．(2022·湖南长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1，2]和[2，3] B．区间[2，3]和[3，4]
C．区间[2，3]，[3，4]和[4，5] D．区间[3，4]，[4，5]和[5，6]
解析：选C．由于f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)<0，所以在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内有零点．
2．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：选C．由于函数的一个零点在区间(1，2)内，
所以f(1)f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，
即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.
3．(2022·广东潮州检测)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|及y＝ln x的图象，如下：
观看图象可以发觉它们有2个交点，
即函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内有2个零点．
4．方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．(数形结合法)∵a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－log5|x－1|的零点个数是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C．由题意知偶函数f(x)的周期T＝2.
在同一坐标系下作出函数f(x)及函数φ(x)＝log5|x－1|的图象如图所示，
结合图象可知函数零点的个数为10.
6．函数f(x)＝的零点个数是________．
解析：函数的定义域是(3，＋∞)，且由f(x)＝0得x＝2或x＝1，但1∉(3，＋∞)，2∉(3，＋∞)，故f(x)没有零点．
答案：0
7．用二分法争辩函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0可得其中一个零点x0∈________，其次次应计算________．
解析：∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)＜0，f(0.5)＞0，则f(x)在x∈(0，0.5)上存在零点，且其次次验证时需验证f(0.25)的符号．
答案：(0，0.5) f(0.25)
8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3，
∴－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知，
∴，∴f(x)＝x2－x－6.
∵不等式af(－2x)＞0，
即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0⇒－＜x＜1，
∴解集为{x|－＜x＜1}．
答案：{x|－＜x＜1}
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
证明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g＜0.
又函数g(x)在上连续，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，
①若f(x)＝0在区间[0，2]上有一解，
∵f(0)＝1＞0，则应有f(2)＜0，
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m＜－.
②若f(x)＝0在区间[0，2]上有两解，则
∴
∴∴－≤m≤－1.
由①②可知m的取值范围是(－∞，－1]．
[力气提升]
1．(2022·湖北武汉模拟)若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )
A．5次 B．6次
C．7次 D．8次
解析：选C．设对区间(1，2)二等分n次，开头时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，…，第n次二等分后区间长为.依题意得＜0.01，∴n＞log2100.由于6＜log2100＜7，
∴n≥7，即n＝7为所求．
2．(2022·湖北省八校联考)已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是( )
A．(，]∪[，) B．[，]∪[，]
C．(，]∪[，) D．[，]∪[，]
解析：选A．当0＜x＜1时，f(x)＝－a＝－a，
1≤x＜2时，f(x)＝－a＝－a，2≤x＜3时，f(x)＝－a＝－a，….
f(x)＝－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，通过数形结合可知a∈(，]∪[，)．
3．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．
解析：由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2.
答案：2
4．已知0＜a＜1，k≠0，函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．
解析：
函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k＞0和k＜0作出函数f(x)的图象．当0＜k＜1时，函数y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点；当k＝1时，有一个交点；当k＞1或k＜0时，没有交点，故当0＜k＜1时满足题意．
答案：(0，1)
5．设函数f(x)＝(x＞0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1)如图所示．
(2)∵f(x)＝＝
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，
由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，且－1＝
1－，∴＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．
6．(选做题)已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2A．
(1)推断命题“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出推断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及(0，)内各有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．
依题意：f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，
∵Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实数根，从而f(x)＝1必有实数根．
(2)依题意：要使y＝f(x)在区间(－1，0)及(0，)内各有一个零点，
只需即
解得＜a＜.
即实数a的取值范围是(，)．
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