《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第二章-第11讲-变化率与导数、导数的计算.docx

第11讲　变化率与导数、导数的计算

1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1(n∈Q*)
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[做一做]
1．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　)
A．xsin x　　　　　　　　 B．－xsin x
C．xcos x D．－xcos x
解析：选B.y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
2．(2022·高考江西卷)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析：设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，
∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2，2)．
答案：(－ln 2，2)

1．辨明三个易误点
(1)利用公式求导时要特殊留意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区分，前者只有一条，而后者包括了前者．
(3)曲线的切线与曲线的交点个数不愿定只有一个，这和争辩直线与二次曲线相切时有差别．
2．导数运算的技巧
(1)要精确     地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数；
(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必需留意变形的等价性，避开不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较便利；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．
[做一做]
3．(2021·保定市高三调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)
A．e B．－e
C. D．－
解析：选C.y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则k＝f′(x0)，∴切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0，0)，代入切线方程得x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝＝.
4．函数y＝＋的导数为________．
解析：y＝＋＝，
∴y′＝′
＝＝.
答案：

,[同学用书P41～P42])

__导数的运算________________________

　求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sin x；
(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝；
(5)y＝ln(2x－5)．
[解]　(1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
∴y′＝18x2－10x－4.
(2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′
＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xexln 3＋3xex－2xln 2
＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(4)y′＝
＝
＝.
(5)令u＝2x－5，y＝ln u，
则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，
即y′＝.
[规律方法]　导数计算的原则和方法：
(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以削减运算量，提高运算速度，削减差错．
(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．
　1.求下列函数的导数：
(1)y＝xnex；(2)y＝；(3)y＝exln x；
(4)y＝(1＋sin x)2.
解：(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．
(2)y′＝＝－.
(3)y′＝exln x＋ex·＝ex.
(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.
__导数的几何意义(高频考点)____________

导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常毁灭在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．
高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度：
(1)已知切点求切线方程；
(2)已知切线方程(或斜率)求切点；
(3)已知切线方程求参数值．
　(1)(2021·山东青岛模拟)曲线y＝x3－2x在(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－2＝0　　　　　　　 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0
(2)(2022·高考课标全国卷Ⅱ改编)设曲线y＝ax－ln x在点(1，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(3)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　)
A．ln 2 B．－ln 2
C. D．－
[解析]　(1)由已知，点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，所以切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－2)|x＝1＝1，由直线方程的点斜式得x－y－2＝0，故选A.
(2)令f(x)＝ax－ln x，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(1，0)处的切线的斜率为f′(1)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.
(3)函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)＝ex－a·e－x.又f′(x)是奇函数，所以f′(x)＝－f′(－x)，即ex－a·e－x＝－(e－x－a·ex)，则ex(1－a)＝e－x(a－1)，所以(e2x＋1)(1－a)＝0，解得a＝1.所以f′(x)＝ex－e－x.令ex－e－x＝，解得ex＝2或ex＝－(舍去，由于ex>0)，所以x＝ln 2.
[答案]　(1)A　(2)D　(3)A
[规律方法]　(1)求曲线切线方程的步骤：
①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)求曲线的切线方程需留意两点：
①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；
②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
　2.(1)(2021·广东肇庆模拟)若曲线y＝x2＋x－的某一切线与直线y＝4x＋3平行，则切线方程为________．
(2)(2021·云南省调研)函数f(x)＝的图象在点(－1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：(1)设切点为(x0，y0)，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝3x0＋1，3x0＋1＝4⇒x0＝1.
又y0＝x＋x0－＝2，则切点为(1，2)，故切线的方程为y－2＝4(x－1)⇒y＝4x－2.
(2)f′(x)＝
＝，则f′(－1)＝－4，故该切线方程为y＝－4x－2，切线在x，y轴上的截距分别为－，－2，故所求三角形的面积为.
答案：(1)y＝4x－2　(2)

,[同学用书P42])

交汇创新——导数与线性规划的交汇

　　(2021·高考江苏卷)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．
[解析]　 由于y′＝2x，所以抛物线在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
画出可行域(如图)．设x＋2y＝z，则y＝－x＋z，可知当直线y＝－x＋z经过点A(，0)，B(0，－1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax＝，最小值zmin＝－2，故取值范围是[－2，]．

[答案]　[－2，]
[名师点评]　(1)本题以y＝x2在x＝1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x＋2y的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇．

(2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥格外异的作用．
(3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．
　(2021·湖北武汉高三月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log 2 015x1＋log2 015x2＋…＋log2 015x2 014的值为________．
解析：f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.
∴x1·x2·…·x2 014＝×××…××＝.
则log2 015x1＋log2 015x2＋…＋log2 015x2 014
＝log2 015(x1·x2·…·x2 014)＝log2 015＝－1.
答案：－1

1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．2cos 1－sin 1
C．cos 1－sin 1 D．1
解析：选B.∵y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，
∴y′|x＝1＝2cos 1－sin 1.
2．(2021·河南郑州第一次质量猜想)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为(　　)
A．3 B．2
C．1 D.
解析：选A.设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，
由y′＝x－，得k＝x0－＝2，
∴x0＝3.
3．已知f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足(　　)
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数
D．f(x)＋g(x)为常数函数
解析：选C.由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，
即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
4．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　)
A．－1 B.
C．－2 D．2
解析：选A.∵y′＝，∴y′|x＝＝－1，由条件知＝－1，∴a＝－1，故选A.
5．若函数f(x)＝cos x＋2xf′，则f与f的大小关系是(　　)
A．f＝f B．f>f
C．f<f D．不确定
解析：选C.依题意得f′(x)＝－sin x＋2f′，
∴f′＝－sin ＋2f′，f′＝，
f′(x)＝－sin x＋1，∵当x∈时，f′(x)>0，
∴f(x)＝cos x＋x在上是增函数，
又－<－<<，∴f<f.
6．函数y＝的导数为________．
解析：y′＝＝.
答案：
7．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________．
解析：∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
答案：8
8．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
解析：设P(x0，y0)到直线y＝x－2的距离最小，则y′|x＝x0＝2x0－＝1，得x0＝1或x0＝－(舍去)．
∴P点坐标为(1，1)．
∴点P到直线y＝x－2的距离d＝＝.
答案：
9．求下列函数的导数．
(1)y＝xnlg x；
(2)y＝＋＋；
(3)y＝ln .
解：(1)y′＝nxn－1lg x＋xn·
＝xn－1(nlg x＋)．
(2)y′＝′＋′＋′
＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′
＝－x－2－4x－3－3x－4
＝－－－.
(3)y′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′
＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′
＝(2x－1)′－(2x＋1)′
＝－
＝.
10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解：(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，
∴斜率最小的切线过，
斜率k＝－1，
∴斜率最小的切线方程为x＋y－＝0.
(2)由(1)得k≥－1，
∴tan α≥－1，
∴α∈∪.

1．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝(　　)

A. B．－
C. D．－或
解析：选D.∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排解．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0.∴a＝－1，∴f(－1)＝－.
2．曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1(x∈[1，2])上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的一般梯形，则这一点的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.设P(x0，x＋1)，x0∈[1，2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，∴y＝2x0(x－x0)＋x＋1.设g(x)＝2x0(x－x0)＋x＋1，则g(1)＋g(2)＝2(x＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)，∴S一般梯形＝×1＝－x＋3x0＋1＝－＋，∴点P坐标为时，S一般梯形最大．
3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 016＝________．
解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，
f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
∴f1＋f2＋…＋f2 016
＝504＝0.
答案：0
4．(2021·浙江宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″ (x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．
①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.
解析：①中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin＜0在区间上恒成立；②中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在区间上恒成立；③中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在区间上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在区间上恒成立，故④中函数不是凸函数．
答案：①②③

5．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)假如曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
∴或
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
6．(选做题)已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值．并推断两条切线是否为同一条直线．
解：依据题意有：
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，
得y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，
得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以两条切线不是同一条直线．