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2.1.3 推理案例赏析
课时目标 1.了解和生疏合情推理和演绎推理的含义.2.进一步生疏合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.3.利用合情推理和演绎推理进行简洁的推理．
1．数学命题推理的分类
数学命题推理有合情推理和演绎推理，__________和____________是常用的合情推理．从推理形式上看，____________是由部分到整体、个别到一般的推理，________是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看，________的结论不愿定正确，有待于进一步证明，__________在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论确定正确．
2．合情推理的作用
合情推理是富于制造性的或然推理，在数学发觉活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有______________、______________、______________的作用．
合情推理是依据已有的事实，经过观看、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘已给的事实，寻求规律，类比则要比较类比源和类比对象的共有属性，不能盲目进行类比．
3．演绎推理的作用
演绎推理是形式化程度较高的必定推理，在数学发觉活动中，它具有类似于“试验”的功能，它不仅为合情推理供应了________，而且可以________________________和________，从而为调控探究活动供应依据．
一、填空题
1．下面几种推理是合情推理的是________．
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出全部三角形的内角和都是180°；
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的全部椅子都坏了；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)×180°.
2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33＝_____________________________.
3．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2 011(x)＝________.
4．假如数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式是______________．
5．如图所示，图(1)有面积关系：＝，则图(2)有体积关系：＝______________.
6．f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N＋)．计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推想当n≥2时，有__________．
7．已知两个圆：x2＋y2＝1， ①
与x2＋(y－3)2＝1. ②
则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的状况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
8．下列图形中的线段有规章地排列，猜出第6个图形中线段的条数为________．
二、解答题
9．已知＋＋＋…＋，写出n＝1，2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？
10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
力气提升
11．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
12．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC相互垂直，则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，争辩三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系．
1．归纳推理和类比推理都具有猜想的性质，要留意观看所给资料的规律性或两类事物具有的属性，得到牢靠的结论．
2．三段论是演绎推理的常用形式，在实际应用时往往省略大前提．
2．1.3 推理案例赏析
答案
学问梳理
1．归纳 类比 归纳 类比 合情推理 演绎推理
2．提出猜想 发觉结论 供应思路
3．前提 对猜想作出“判决” 证明
作业设计
1．①②④
2．3
解析 a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}是以6个项为周期循环毁灭的数列，a33＝a3＝3.
3．－cos x
解析 由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…
可以归纳出：
f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，
f4n＋3(x)＝－cos x (n∈N＋)，
∴f2 011(x)＝f3(x)＝－cos x.
4．an＝2·3n
解析 当n＝1时，a1＝a1－3，∴a1＝6，
由Sn＝an－3，当n≥2时，Sn－1＝an－1－3，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴an＝3an－1.
∴a1＝6，a2＝3×6，a3＝32×6.
猜想：an＝6·3n－1＝2·3n.
5．
6．f(2n)>
7．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 ③
(x－c)2＋(y－d)2＝r2 ④
其中a≠c或b≠d，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程
8．125
解析 第一个图只一条线段，其次个图比第一个图增加4条线段，即线段的端点上各增加2条，第三个图比其次个图增加4×2＝23条线段．第4个图比第三个图增加23×2＝24条线段，因此猜想第6个图的线段的条数为1＋22＋23＋24＋25＋26＝1＋＝27－3＝125.
9．解 n＝1时，＝；
n＝2时，＋＝＋＝；
n＝3时，＋＋＝＋＝；
n＝4时，＋＋＋＝＋＝.
观看所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1.
所以猜想＋＋＋…＋
＝.
证明如下：
由＝1－，＝－，…，
＝－.
∴原式＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－＝.
10．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知
EF∥BC.
由于EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1.
又A1D⊂A1B1C1，故CC1⊥A1D.
又由于A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
11．n2＋n
解析 由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，所以第n行第n＋1列的数是n2＋n.
12．解 猜想正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，
则S＋S＋S＝S”．
事实上，本题还需要严格意义上的证明：
如图所示，作AO⊥平面BCD于点O，由三个侧面两两相互垂直可知三条侧棱AB、AC、AD两两相互垂直，故O为△BCD的垂心，在Rt△DAE中，AO⊥DE，有AE2＝EO·ED，
S＝BC2·AE2
＝
＝S△OBC·S△BCD，
同理S＝S△BCD·S△OCD，S＝S△BCD·S△OBD，
故S＋S＋S＝S.
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