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学案8 对数与对数函数
导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．
自主梳理
1．对数的定义
假如________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质(a>0且a≠1)
①＝____； ②＝____；
③＝____； ④＝____.
(2)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)；
②＝，推广＝________.
(3)对数的运算法则
假如a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝___________________________；
②loga＝______________________；
③logaMn＝__________(n∈R)；
④＝logaM.
3．对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图
象
性
质
(1)定义域：______
(2)值域：______
(3)过点______，即x＝____时，y＝____
(4)当x>1时，______
当0<x<1时，______
(5)当x>1时，______当0<x<1时，______
(6)是(0，＋∞)上的______函数
(7)是(0，＋∞)上的______函数
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称．
自我检测
1．(2010·四川)2log510＋log50.25的值为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．4
2．(2010·辽宁)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m的值为 ( )
A. B．10 C．20 D．100
3．(2009·辽宁)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log23)的值为 ( )
A. B. C. D.
4．(2010·安庆模拟)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，f()＝0，则满足>0的x的取值范围是 ( )
A．(0，＋∞) B．(0，)∪(2，＋∞)
C．(0，)∪(，2) D．(0，)
5．(2011·台州期末)已知0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是______.
探究点一 对数式的化简与求值
例1 计算：(1)；
(2)lg－lg＋lg；
(3)已知2lg＝lg x＋lg y，求.
变式迁移1 计算：
(1)log2＋log212－log242－1；
(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.
探究点二 含对数式的大小比较
例2 (1)比较下列各组数的大小．
①log3与log5；
②log1.10.7与log1.20.7.
(2)已知logb<loga<logc，比较2b,2a,2c的大小关系．
变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则 ( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
(2)设a，b，c均为正数，且2a＝，()b＝，()c＝log2c，则 ( )
A．a<b<c B．c<b<a0
C．c<a<b D．b<a<c
探究点三 对数函数的图象与性质
例3 已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，假如对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
变式迁移3 (2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是 ( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
分类争辩思想的应用
例 (12分)已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a>0，a≠1)．
(1)解关于x的不等式：loga(1－ax)>f(1)；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0.
【答题模板】
(1)解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，
∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a>0.∴0<a<1.
∴不等式可化为loga(1－ax)>loga(1－a)．
∴，即∴0<x<1.
∴不等式的解集为(0,1)．[4分]
(2)证明 设x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵1－ax>0，∴ax<1.
∴a>1时，f(x)的定义域为(－∞，0)；[6分]
0<a<1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当0<a<1时，∵x2>x1>0，∴<.
∴>1.∴<0.
∴f(x2)<f(x1)，即y2<y1.
同理可证，当a>1时，也有y2<y1.[10分]
综上：y2<y1，即y2－y1<0.∴kAB＝<0.
∴直线AB的斜率小于0.[12分]
【突破思维障碍】
解决含参数的对数问题，不行忽视对底数a的分类争辩，即a>1或0<a<1，其次要看定义域，假如将函数变换，务必保证等价性．
1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：
(1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．
2．用对数函数的性质比较大小
(1)同底数的两个对数值的大小比较
例如，比较logaf(x)与logag(x)的大小，
其中a>0且a≠1.
①若a>1，则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0.
②若0<a<1，则logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)．
(2)同真数的对数值大小关系如图：
图象在x轴上方的部分自左向右底渐渐增大，即0<c<d<1<a<b.
3．常见对数方程式或对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a>0且a≠1)等价于f(x)＝g(x)，但要留意验根．对于logaf(x)>logag(x)等价于0<a<1时，a>1时，
(2)形如F(logax)＝0、F(logax)>0或F(logax)<0，一般接受换元法求解．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于 ( )
A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)
2．(2010·全国Ⅰ)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，则 ( )
A．a<b<c B．b<c<a
C．c<a<b D．c<b<a
3．(2010·天津)若函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
4．(2011·济南模拟)设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有 ( )
A．f()<f(2)<f()
B．f()<f(2)<f()
C．f()<f()<f(2)
D．f(2)<f()<f()
5．(2011·青岛模拟)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为 ( )
A. B. C．2 D．4
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．2lg 5＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22＝________.
7．(2011·湖南师大附中检测)已知函数f(x)＝lg在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围是____________．
8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值时x的值．
10．(12分)(2011·北京东城1月检测)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)推断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)若a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
11．(14分)(2011·郑州模拟)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
答案 自主梳理
1．ax＝N(a>0，且a≠1) x＝logaN a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)① ②logad (3)①logaM＋logaN ②logaM－logaN ③nlogaM 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y>0 y<0 (5)y<0 y>0 (6)增 (7)减 4.y＝logax y＝x
自我检测
1．C 2.A
3．A [由于3<2＋log23<4，故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)．又3＋log23>4，故f(3＋log23)＝3＋log23＝3·＝.]
4．B [由题意可得：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，f(|logx|)>f()，f(x)在[0，＋∞)上递增，于是|logx|>，解得x的取值范围是(0，)∪(2，＋∞)．]
5．m>n
解析 ∵m<0，n<0，∵＝logac·logcb＝logab<logaa＝1，∴m>n.
课堂活动区
例1 解题导引 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要留意化同底和指数与对数互化．
解 (1)方法一 利用对数定义求值：
设＝x，
则(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1，
∴x＝－1.
方法二 利用对数的运算性质求解：
＝
＝＝－1.
(2)原式＝(lg 32－lg 49)－lg 8＋
lg 245＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝lg (2×5)＝lg 10＝.
(3)由已知得lg()2＝lg xy，
∴()2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴()2－6()＋1＝0.∴＝3±2.
∵∴>1，∴＝3＋2，
∴log(3－2)＝log(3－2)(3＋2)
＝log＝－1.
变式迁移1 解 (1)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2＝log22－＝－.
(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25
＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.
例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．
解 (1)①∵log3<log31＝0，
而log5>log51＝0，∴log3<log5.
②方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2，
∴0>log0.71.1>log0.71.2.
∴<，
由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.
方法二 作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，
如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.
(2)∵y＝logx为减函数，
且logb<loga<logc，∴b>a>c.
而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c.
变式迁移2 (1)A [a＝log3π>1，b＝log23，则<b<1，c＝log32<，∴a>b>c.]
(2)A [∵a，b，c均为正，
∴loga＝2a>1，logb＝()b∈(0,1)，
log2c＝()c∈(0,1)．
∴0<a<，<b<1,1<c<2.
故a<b<c.]
例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题，即对于x∈[，2]时，|f(x)|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a为参数，需对a分类争辩．
解 ∵f(x)＝logax，
则y＝|f(x)|的图象如右图．
由图示，可使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，
只需|f()|≤1，即－1≤loga≤1，
即logaa－1≤loga≤logaa，
亦当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3；
当0<a<1时，得a－1≥≥a，得0<a≤.
综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．
变式迁移3 C
[画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示．∵0<a<b，f(a)＝f(b)，∴0<a<1，b>1，∴lg a<0，lg b>0.由f(a)＝f(b)，
∴－lg a＝lg b ，ab＝1.
∴b＝，∴a＋2b＝a＋，
又0<a<1，函数t＝a＋在(0,1)上是减函数，
∴a＋>1＋＝3，即a＋2b>3.]
课后练习区
1．C [∵x≥0，∴y＝()x∈(0,1]，∴M＝(0,1]．
当0<x≤1时，y＝log2x∈(－∞，0]，即N＝(－∞，0]． ∴M∪N＝(－∞，1]．]
2．C [∵＝log23>1，＝log2e>1，log23>log2e.
∴>>1，∴0<a<b<1.
∵a＝log32>log3＝，∴a>.
b＝ln 2>ln ＝，∴b>.
c＝5－＝<，∴c<a<b.]
3．C [①当a>0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝，
f(a)>f(－a)，即log2a>＝log2，
∴a>，解得a>1.
②当a<0时，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)，
f(a)>f(－a)，即>log2(－a)＝，
∴－a<，解得－1<a<0，
由①②得－1<a<0或a>1.]
4．C [由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝ln x，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，
∵|2－1|>|－1|>|－1|，
∴f()<f()<f(2)．]
5．C [当x>0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f(x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的单调函数，f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由题意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．]
6．3
7．(1,2)
解析 由于f(x)＝lg在区间[1,2]上是增函数，所以g(x)＝a＋在区间[1,2]上是增函数，且g(1)>0，于是a－2<0，且2a－2>0，即1<a<2.
8．2 008
解析 令3x＝t，f(t)＝4log2t＋233，
∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.
9．解 ∵f(x)＝2＋log3x，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝logx＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.……(4分)
∵函数f(x)的定义域为[1,9]，
∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必需∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，(8分)
∴6≤(log3x＋3)2－3≤13.
当log3x＝1，即x＝3时，ymax＝13.
∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13.………………………………………(12分)
10．解 (1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，则解得－1<x<1.
故所求函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．………………………………………………(4分)
(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]
＝－f(x)，故f(x)为奇函数．………………………………………………………………(8分)
(3)由于当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f(x)>0⇔>1.
解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的解集是{x|0<x<1}．…………………………………(12分)
11．解 (1)由ax－bx>0，得()x>1，且a>1>b>0，得>1，所以x>0，即f(x)的定义域为(0，＋∞)．…………………………………………………………………………………………(4分)
(2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，则>>0，，所以>>0，
即>．故f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)
假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数冲突．
故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．…………(10分)
(3)由于f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………(14分)
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