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第四节 随机大事的概率
[全盘巩固]
1．给出以下结论：
①互斥大事确定对立；
②对立大事确定互斥；
③互斥大事不愿定对立；
④大事A与B的和大事的概率确定大于大事A的概率；
⑤大事A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 对立必互斥，互斥不愿定对立，所以②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，所以④错；只有A与B为对立大事时，才有P(A)＝1－P(B)，所以⑤错．
2．从存放号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的卡片的频率是( )
A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37
解析：选A 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为＝0.53.
3．某种产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产状况下，毁灭乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件产品是正品(甲级品)的概率为( )
A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08
解析：选C 记“抽检一件产品是甲级品”为大事A，“抽检一件产品是乙级品”为大事B，“抽检一件产品是丙级品”为大事C，这三个大事彼此互斥，因而抽检一件产品是正品(甲级品)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
4．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列大事中概率为1的是( )
A．三个都是正品
B．三个都是次品
C．三个中至少有一个是正品
D．三个中至少有一个是次品
解析：选C 16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A是随机大事，B是不行能大事，C是必定大事，D是随机大事，又必定大事的概率为1，故C正确．
5．从某校高二班级的全部同学中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：
162 153 148 154 165 168 172 171 173 150
151 152 160 165 164 179 149 158 159 175
依据样本频率分布估量总体分布的原理，在该校高二班级的全部同学中任抽一人，估量该生的身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选A 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位同学中，身高在155.5 cm～170.5 cm之间的同学有8人，频率为，故可估量在该校高二班级的全部同学中任抽一人，其身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率为.
6．(2021·舟山模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的大事A、B、C、D的概率分别为0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是( )
A．A＋B与C是互斥大事，也是对立大事
B．B＋C与D是互斥大事，也是对立大事
C．A＋C与B＋D是互斥大事，但不是对立大事
D．A与B＋C＋D是互斥大事，也是对立大事
解析：选D 由于P(A)＝0.2，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，且P(A)＋P (B)＋P(C)＋P(D)＝1，所以A与B＋C＋D是互斥，也是对立大事．
7．一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．
解析：“从中任取5个球，至少有1个红球”是必定大事，必定大事发生的概率为1.
答案：1
8．抛掷一粒骰子，观看掷出的点数，设大事A为“毁灭奇数点”，大事B为“毁灭2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则毁灭奇数点或2点的概率为________．
解析：由题意知“毁灭奇数点”的概率是大事A的概率，“毁灭2点”的概率是大事B的概率，大事A，B互斥，则“毁灭奇数点或2点”的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
9．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星精确 预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报精确 的概率为________．
解析：P＝1－0.2×0.25＝0.95.
答案：0.95
10．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
(1)估量甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估量该产品是甲品牌的概率．
解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估量概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)依据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估量概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
11. (2022·通化模拟)有A、B、C、D、E五位工人参与技能竞赛培训．现分别从A、B二人在培训期间参与的若干次预赛成果中随机抽取8次．用如图所示茎叶图表示这两组数据．
(1)A、B二人预赛成果的中位数分别是多少？
(2)现要从A、B中选派一人参与技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参与合适？请说明理由；
(3)若从参与培训的5位工人中选2人参与技能竞赛，求A、B二人中至少有一人参与技能竞赛的概率．
解：(1)A的中位数是＝84，B的中位数是＝83.
(2)派A参与比较合适．理由如下：
A＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，
B＝(73＋79＋81＋82＋84＋88＋95＋98)＝85，
s＝[(75－85)2＋(80－85) 2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，
s＝[(73－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(95－85)2＋(98－85)2]＝60.5.
∵A＝B，s<s∴A的成果较稳定，派A参与比较合适．
(3)任派两个(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种状况；A、B两人都不参与有(C，D)，(C，E)，(D，E)3种．
至少有一个参与的对立大事是两个都不参与，所以P＝1－＝.
12．(2022·北京高考)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放状况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨的生活垃圾，数据统计如下(单位：吨).
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估量厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估量生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．
注：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数
解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为
＝＝.
(2)设生活垃圾投放错误为大事A，则大事表示生活垃圾投放正确．
大事的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()≈＝0.7，所以P(A)≈1－0.7＝0.3.
(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值．
由于＝(a＋b＋c)＝200，所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]
＝80 000.
[冲击名校]
袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少？
解：记“得到红球”为大事A，“得到黑球”为大事B，“得到黄球”为大事C，“得到绿球”为大事D，大事A，B，C，D明显彼此互斥，则由题意可知，
P(A)＝，①
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，②
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，③
由大事A和大事B∪C∪D是对立大事可得
P(A)＝1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，
即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，④
②③④联立可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.
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