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第十三章 选修4－5 第一节
一、选择题
1．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )
A．[－5,7] B．[－4,6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
[答案] D
[解析] 本题主要考查了确定值不等式的解法．
依题意：“|x－5|＋|x＋3|”的几何意义为：点x到点5，－3的距离之和．而当x＝－4或6时，|x－5|＋|x＋3|＝10，
∴原不等式的解集为x∈(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
2．(2022·安徽高考)若函数f(x)＝| x＋1|＋|2x＋a |的最小值为3，则实数a的值为( )
A．5或8 B．－1或5
C．－1或 －4 D．－4或8
[答案] D
[解析] 本题考查分段函数，函数的最值．
①当a<2时，－1<－，
f(x)＝.
②当a>2时，－1>－，
f(x)＝.
对于①，f(x)max＝f(－)＝＋1－a＝3，∴a＝－4.
对于②，f(x)min＝f(－)＝－＋a－1＝3，∴a＝8.
二、填空题
3．在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．
[答案] [0,4]
[解析] 由||x－2|－1|≤1.
∴0≤|x－2|≤2，
∴－2≤x－2≤2，即0≤x≤4.
4．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．
[答案] {x|－≤x≤}
[解析] 本题考查了确定值不等式的解法．
当x≤－时，原不等式化为－(2x－1)－(2x＋1)≤6，
∴x≥－，即－≤x≤－；
当－<x≤时，原不等式为－(2x＋1)＋(2x＋1)≤6，
∴0≤6成立，即－<x≤；
当x>时， 原不等式化为2x－1＋2x＋1≤6，
∴x≤，即<x≤；
综上可知，－≤x≤.
即原不等式的解集为{x|－≤x≤}．
5．(2022·广东高考)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
[答案] (－∞，－3]∪[2，＋∞)
[解析] 本题考查确定值不等式的解法，利用数轴
先推断：2到－2,2到1的距离和为5，－3到－2，－3到1的距离和为5，所以x≥2或x≤－3，利用确定值的几何意义来解决比较便利，假如利用分段争辩也可以但较简洁．
6．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
[答案] (－∞，－1]∪[4，＋∞)
[解析] 要使|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意x∈R恒成立，
则需a2－3a大于等于函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值．
又ymax＝4，故a2－3a≥4，得a≤－1或a≥4.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
[解析] (1)f(x)＝|x－2|－|x－5|
＝
当2<x<5时，－3<2x－7<3.
所以－3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知，
当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当2<x<5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x<5}；
当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．
8．(2022·新课标Ⅱ)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0)
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
[解析] (1)由确定值不等式的几何意义可知：由a>0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝a＋≥2，当且仅当a＝1时，取等号，所以f(x)≥2.
(2)由于f(3)<5，所以|＋3|＋|a－3|<5⇔＋3＋|a－3|<2－⇔－2<a－3<2－，
解得：a的取值范围是(，).
一、选择题
1．假如关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3]∪[5，＋∞)
B．[－5，－3]
C．[3,5]
D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
[答案] D
[解析] ∵|x－a|＋|x＋4|≥1的解集为R，
∴|x－a|＋|x＋4|≥|(x－a)－(x＋4)|
＝|a＋4|≥1恒成立．
所以a＋4≥1或a＋4≤－1.解得a≥－3或a≤－5.
故选D．
2．(2022·江西高考)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 本题考查确定值不等式||x|－|y||≤|x±y|≤|x|＋|y|的应用．
由于|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|>|x－1－x|＋|y－1－y－1|＝1＋2＝3，选C．
二、填空题
3．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)
[解析] ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝
∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.
4．已知h>0，a，b∈R，命题甲：|a－b|<2h；命题乙：|a－1|<h且|b－1|<h，则甲是乙的________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] |a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|≤2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．
5．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．
[答案] (－∞，＋∞)
[解析] 本题考查确定值不等式性质．
|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|a－x＋x－b|
＝|a－b|>2，所以x∈(－∞，＋∞)．
6．(2022·重庆高考)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
[答案] [－1，]
[解析] 本题考查了确定值不等式与一元二次不等式的解法．设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝，可得最小值为，依据条件可得a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0解得－1≤a≤.
注：f(x)≤a恒成立，就是要使得a大于等于f(x)的最大值；f(x)≥a恒成立，就是要使得a小于等于f(x)最小值．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
[解析] (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|
＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则
h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以于是a＝3.
8．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)假如任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
[解析] (1)当a＝－1时，
f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，
由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3，
(解法1)由确定值的几何意义知不等式的解集为
{x|x≤－或x≥}．
(解法2)不等式可化为
或或
所以不等式的解集为{x|x≤－或x≥}．
(2)∵|x－1|＋|x－a|≥|a－1|，
∴由题意可知|a－1|≥2，解得a≥3或a≤1.
从而a的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．
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