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双基限时练(二十一)
1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
解析 a·b＝－3×5＋4×2＝－7，故选D.
答案 D
2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析 由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.
答案 D
3．若非零向量a，b，满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 C
4．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的外形为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
解析 ＝(3，－1)，＝(－1，－3)，＝(－4，－2)，
∴||＝，||＝，||＝.
∴||＝||，且||2＋||2＝||2＝20.
∴△ABC为等腰直角三角形，应选C.
答案 C
5．已知a＝(0,1)，b＝(3，x)，向量a与b的夹角为，则x的值为( )
A．±3 B．±
C．±9 D．3
解析 cos＝＝，
∴2x＝，且x>0，∴3x2＝27，∴x＝3.
答案 D
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A. B.
C. D.
解析 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，
对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．
又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，
∴m＝－，n＝－.
答案 D
7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝________.
解析 ∵a＝(3,1)，c＝(k,2)，
∴a－c＝(3－k，－1)．
又b＝(1,3)，且(a－c)⊥b，
∴(a－c)·b＝0，
即1×(3－k)＋(－1)×3＝0.
∴k＝0，故应填0.
答案 0
8．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
解析 a·b＝2－2λ，|a|＝，|b|＝，由a与b的夹角为锐角，得＝>0，即2－2λ>0，
∴λ<1.
当＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合题意．
∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．
答案 (－∞，－4)∪(－4,1)
9．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．
解析 a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，
∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．
又|a|＝，|b|＝，a·b＝0，
∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.
∴|a－2b|＝5.
答案 5
10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．(用数字作答)
解析 由题意知|a|＝1，设a与b的夹角为θ，则
b·(a－b)＝b·a－b2＝0，
∴b2＝b·a，∴|b|2＝|a||b|cosθ.
∴|b|(|b|－cosθ)＝0，∴|b|＝0，或|b|＝cosθ.
∵θ∈[0，π]，∴|b|∈[0,1]．
答案 [0,1]
11．已知点A(－1,1)，点B(1,2)，若点C在直线y＝3x上，且⊥.求点C的坐标．
解 设C(x,3x)，则＝(2,1)，＝(x－1,3x－2)，
所以2(x－1)＋3x－2＝0，
所以x＝，所以C.
12.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)．
(1)若λa－2b与a垂直，求λ的值；
(2)若a－2kb与a＋b平行，求k的值．
解 (1)∵a＝(1,1)，b＝(2，－3)，
∴λa－2b＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)．
∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，
∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1.
(2)∵a－2kb＝(1,1)－(4k，－6k)＝(1－4k,1＋6k)，
a＋b＝(3，－2)，且(a－2kb)∥(a＋b)，
∴－2(1－4k)－3(1＋6k)＝0，
∴k＝－.
13．已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．
解 (1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
由·＝1×(－3)＋1×3＝0，
得⊥.∴AB⊥AD.
(2)∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴＝.设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，又＝(1,1)，
∴∴∴C(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且||＝2，
||＝2，·＝8＋8＝16.
设〈，〉＝θ，
则cosθ＝＝＝.
∴矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
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