《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第八章-第2讲-两直线的位置关系.docx

第2讲　两直线的位置关系

1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系

条件
两直线位置关系
斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1， k2
平行
k1＝k2
k1与k2都不存在
垂直
k1k2＝－1
k1与k2一个为零、另一个不存在
　　2.两条直线的交点

3．三种距离
点点距
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
点线距
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
线线距
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
　　[做一做]
1．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为(　　)
A．(，)　　　　　　 B．(－，)
C．(，－) D．(－，－)
答案：B
2．(2021·天津模拟)若直线y＝2x与kx＋y＋1＝0垂直，则实数k＝________．
答案：

1．辨明三个易误点
(1)在推断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可依据判定定理推断，若直线无斜率，要单独考虑．
(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．
(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝时，确定要留意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．
2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法
与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且n≠C)．
[做一做]
3．点(1，1)到直线x＋2y＝5的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
4．若直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是(　　)
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
答案：A

__两条直线平行与垂直__________________

　(1)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0相互平行”的(　　)
A．充要条件　　　　　　 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2021·河北保定调研)与直线x＋4y－4＝0垂直，且与抛物线y＝2x2相切的直线方程为________．
[解析]　(1)当a＝2时，两直线平行；但两直线平行时，a＝2或者a＝－1.故“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0相互平行”的充分不必要条件．
(2)所求直线与直线x＋4y－4＝0垂直，故所求直线斜率为4.由题意知：y′＝4x＝4，∴x＝1，
从而y＝2，即切点为(1，2)，
故所求直线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
[答案]　(1)C　(2)4x－y－2＝0
[规律方法]　两直线平行、垂直的判定方法
(1)已知两直线的斜率存在
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提示]　当直线斜率不确定时，要留意斜率不存在的状况．
(2)已知两直线的一般方程
两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：
A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.
　1.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试推断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
解：(1)法一：当a＝1时，
直线l1的方程为x＋2y＋6＝0，
直线l2的方程为x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，直线l1的方程为y＝－3，直线l2的方程为x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线的方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1∥l2⇔
解得a＝－1.
综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
法二：由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0；
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
因此l1∥l2⇔
⇔⇒a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
(2)法一：当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y＋6＝0，直线l2的方程为x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立．
当a＝0时，直线l1的方程为y＝－3，直线l2的方程为x－y－1＝0，l1不垂直于l2.
当a≠1且a≠0时，直线l1的方程为y＝－x－3，
直线l2的方程为y＝x－(a＋1)，
由(－)·＝－1⇒a＝.
法二：由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.
__两条直线的交点______________________

　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[解]　法一：由方程组，得，
即P(0，2)．
∵l⊥l3，∴kl＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
∵l与l3垂直，
∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，
∴λ＝11，
∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，
即4x＋3y－6＝0.
[规律方法]　(1)两直线交点的求法：
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．
(2)常见的三大直线系方程：
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
　　　2.已知直线l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋＝0，分别求满足下列条件的k的值：
(1)l1，l2，l3相交于一点；
(2)l1，l2，l3围成三角形．
解：(1)直线l1，l2的方程联立得，
解得，即直线l1，l2的交点为P(－1，－2)．
又点P在直线l3上，所以－1－2k＋k＋＝0，解得k＝－.
(2)由(1)知k≠－.
当直线l3与l1，l2均相交时，有，解得k≠且k≠－1，
综上可得k≠－，且k≠，且k≠－1.
__距离公式(高频考点)__________________

距离公式包括两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离．在高考中经常毁灭，试题难度不大，多为简洁题或中档题．
高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求距离；
(2)已知距离求参数值；
(3)已知距离求点的坐标．
　(1)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
[解析]　(1)由题意得，点P到直线的距离为
＝.
又≤3，
即|15－3a|≤15，
解之得，0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10]．
(2)依题意知，＝≠，
解得a＝－4，c≠－2，
即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
又两平行线之间的距离为，
所以＝，因此c＝2或－6.
[答案]　(1)[0，10]　(2)2或－6
[规律方法]　距离的求法：
(1)点到直线的距离
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要留意此时直线方程必需为一般式．
(2)两平行直线间的距离
①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
②利用两平行线间的距离公式．
　3.(1)平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为________．
(2)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.
解析：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，
则d＝＝1，
∴c＝3或c＝－7，
即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
答案：3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0
(2)解：设点P的坐标为(a，b)．
∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．
而AB的斜率kAB＝＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为
y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，
∴a－b－5＝0.①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
∴＝2，
即4a＋3b－2＝±10，②
由①②联立可得或
∴所求点P的坐标为(1，－4)或(，－)．
__对称问题____________________________

　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
[解]　(1)设A′(x，y)，由已知

解得
∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，
则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′(a，b)，则

解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由
得N(4，3)．
又∵m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
　　　在本例条件下，求直线l关于点A(－1，－2)对称直线l′的方程．
解：直线l与l′平行，设l′的方程为2x－3y＋c＝0，由于点到两直线距离相等．
则＝，
解得c＝1(舍去)，c＝－9，
∴直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
[规律方法]　(1)关于中心对称问题的处理方法：
①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(2)关于轴对称问题的处理方法：
①点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种状况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
　　　4.直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则b＝________．
解析：法一：由题知，点A不在直线x＋2y－3＝0上，
∴两直线平行，
∴－＝－，∴a＝2.
又点A到两直线距离相等，
∴＝，
∴|b＋2|＝4，∴b＝－6或b＝2.
∵点A不在直线x＋2y－3＝0上，
∴两直线不能重合，∴b＝2.
法二：在直线x＋2y－3＝0上任取两点P1(1，1)、P2(3，0)，
则P1、P2关于点A的对称点P1′、P2′都在直线ax＋4y＋b＝0上．
∵易知P1′(1，－1)、P2′(－1，0)，
∴
∴b＝2.
答案：2

交汇创新——直线和不等式的交汇

　　　(2022·高考四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
[解析]　∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，
∴A(0，0)，B(1，3)．
当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；
当点P与点A，B均不重合时，∵P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，
∴△APB为直角三角形，∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，
∴|PA|·|PB|≤＝＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．
[答案]　5
[名师点评]　1.本题是直线与不等式的交汇，把直线问题和基本不等式进行结合，体现了当今数学命题的新动向，其解题思路是利用图形找出关系式|AP|2＋|BP|2＝|AB|2，再利用基本不等式求解．
2．直线方程还可以与集合、向量、概率等学问交汇．
　　　1.(2021·湖北八市联考)已知M＝，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝∅，则a＝(　　)
A．－6或－2　　　　　　　 B．－6
C．2或－6 D．－2
解析：选A.集合M表示去掉一点A(2，3)的直线3x－y－3＝0，集合N表示恒过定点B(－1，0)的直线ax＋2y＋a＝0，由于M∩N＝∅，所以两直线要么平行，要么直线ax＋2y＋a＝0与直线3x－y－3＝0相交于点A(2，3)．因此＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.
2．将一颗骰子投掷两次，第一次毁灭的点数记为a，其次次毁灭的点数记为b，设两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则复数P1＋P2i所对应的点P与直线l2：x＋2y＝2的位置关系是(　　)
A．P在直线l2上
B．P在直线l2的左下方
C．P在直线l2的右上方
D．无法确定
解析：选B.易知当且仅当≠时两条直线相交，而＝的状况有三种：①a＝1，b＝2(此时两条直线重合)，②a＝2，b＝4(此时两条直线平行)，③a＝3，b＝6(此时两条直线平行)，而投掷两次的全部状况有36种，所以两条直线相交的概率P2＝1－＝，两条直线平行的概率P1＝＝，则P1＋P2i所对应的点P为(，)，易推断点(，)在直线l2：x＋2y＝2的左下方．

1．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－1
C．2 D．－1或2
解析：选A.由a×1＋(a－1)×2＝0，∴a＝.
2．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　)
A．(3，0) B．(－3，0)
C．(0，－3) D．(0，3)
解析：选D.∵l1∥l2，且l1的斜率为2，∴l2的斜率为2.
又l2过点(－1，1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，
整理即得：y＝2x＋3，令x＝0，得y＝3，∴P点坐标为(0，3)．
3．(2021·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：选D.由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1，1)．
又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.
4．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)
A．－10 B．－2
C．0 D．8
解析：选A.∵l1∥l2，
∴kAB＝＝－2.
解得m＝－8.
又∵l2⊥l3，
∴－×(－2)＝－1，解得n＝－2，
∴m＋n＝－10.
5．若向量a＝(k＋2，1)与向量b＝(－b，1)共线，则直线y＝kx＋b必经过定点(　　)
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(－1，2) D．(－1，－2)
解析：选A.由于向量a＝(k＋2，1)与向量b＝(－b，1)共线，则k＋2＝－b，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．
6．(2021·昆明三中、玉溪一中统考)已知A、B两点分别在两条相互垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，)，则线段AB的长为________．
解析：依题意，a＝2，P(0，5)，设A(x，2x)、B(－2y，y)，故，则A(4，8)、B(－4，2)，
∴|AB|＝＝10.
答案：10
7．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________．
解析：由于l1与l2：x＋y－1＝0平行，所以可设l1的方程为x＋y＋b＝0(b≠－1)．
又由于l1与l2的距离是，所以＝，
解得b＝1或b＝－3，
即l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
8．设直线l经过点A(－1，1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________．
解析：设点B(2，－1)到直线l的距离为d，
当d＝|AB|时取得最大值，
此时直线l垂直于直线AB，kl＝－＝，
∴直线l的方程为y－1＝(x＋1)，
即3x－2y＋5＝0.
答案：3x－2y＋5＝0
9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.
又∵直线l1过点(－3，－1)，
∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在．
∴k1＝k2，即＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
10．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4，5)关于直线l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得.　　
(1)把x＝4，y＝5代入③④，得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于直线l对称的直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.

1．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A．3 B．2
C．3 D．4
解析：选A.依题意知，AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，依据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，
即l：x＋y－6＝0，依据点到直线的距离公式，
得中点M到原点的距离的最小值为＝3.
2．(2021·洛阳统考)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　)
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
解析：选D.由于点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排解A、B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排解C，故选D.
3．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．
解析：由题意得线段AB的中点(－，2)在直线y＝kx＋b上，故，解得k＝－，b＝，所以直线方程为y＝－x＋.令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为.
答案：
4．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，假如这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的全部取值为________．

解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的全部取值为0，1，2.
答案：0，1，2
5．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
解：(1)由于l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－(a2＋)2＋，
由于a2≥0，所以b≤0.
又由于a2＋1≠3，所以b≠－6.
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．
(2)由于l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，
明显a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝|a＋|≥2，
当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.
6．(选做题)A，B两个工厂距一条河分别为400 m和100 m，A，B两工厂之间距离500 m，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A，B两工厂用水，要使供水站到A，B两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？
解：如图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立直角坐标系，
则点A(0，400)，点B(a，100)．
过点B作BC⊥AO于点C.
在△ABC中，AB＝500，AC＝400－100＝300，
由勾股定理得BC＝400，
∴B(400，100)．
点A(0，400)关于x轴的对称点A′(0，－400)，
由两点式得直线A′B的方程为y＝x－400.
令y＝0，得x＝320，即点P(320，0)．
故供水站(点P)在距O点320 m处时，到A，B两厂铺设的水管长度之和最短．