《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第八章-第2讲-两直线的位置关系.docx

第2讲两直线的位置关系1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1， k2平行k1k2k1与k2都不存在垂直k1k21k1与k2一个为零、另一个不存在2.两条直线的交点3三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点线距点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d线线距两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d做一做1两条直线l1：2xy10和l2：x2y40的交点为()A(，)B(，)C(，) D(，)答案：B2(2021天津模拟)若直线y2x与kxy10垂直，则实数k_答案：1辨明三个易误点(1)在推断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可依据判定定理推断，若直线无斜率，要单独考虑(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式(3)在运用两平行直线间的距离公式d时，确定要留意将两方程中x，y的系数化为相同的形式2与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：BxAym0(mR)；(2)平行：AxByn0(nR，且nC)做一做3点(1，1)到直线x2y5的距离为()A. B.C. D.答案：D4若直线l过点(1，2)且与直线2x3y40垂直，则直线l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80答案：A_两条直线平行与垂直_(1)“a2”是“直线(a2a)xy0和直线2xy10相互平行”的()A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2021河北保定调研)与直线x4y40垂直，且与抛物线y2x2相切的直线方程为_解析(1)当a2时，两直线平行；但两直线平行时，a2或者a1.故“a2”是“直线(a2a)xy0和直线2xy10相互平行”的充分不必要条件(2)所求直线与直线x4y40垂直，故所求直线斜率为4.由题意知：y4x4，x1，从而y2，即切点为(1，2)，故所求直线方程为y24(x1)，即4xy20.答案(1)C(2)4xy20规律方法两直线平行、垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提示当直线斜率不确定时，要留意斜率不存在的状况(2)已知两直线的一般方程两直线方程l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2B1B20l1l2；A1B2A2B10且A1C2A2C10l1l2.1.已知直线l1：ax2y60和l2：x(a1)ya210.(1)试推断l1与l2是否平行；(2)当l1l2时，求a的值解：(1)法一：当a1时，直线l1的方程为x2y60，直线l2的方程为x0，l1不平行于l2；当a0时，直线l1的方程为y3，直线l2的方程为xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线的方程可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，由l1l2解得a1.综上可知，a1时，l1l2，否则l1与l2不平行法二：由A1B2A2B10，得a(a1)120；由A1C2A2C10，得a(a21)160，因此l1l2a1，故当a1时，l1l2，否则l1与l2不平行(2)法一：当a1时，直线l1的方程为x2y60，直线l2的方程为x0，l1与l2不垂直，故a1不成立当a0时，直线l1的方程为y3，直线l2的方程为xy10，l1不垂直于l2.当a1且a0时，直线l1的方程为yx3，直线l2的方程为yx(a1)，由()1a.法二：由A1A2B1B20，得a2(a1)0a._两条直线的交点_求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解法一：由方程组，得，即P(0，2)ll3，kl，直线l的方程为y2x，即4x3y60.法二：直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l与l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.规律方法(1)两直线交点的求法：求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点(2)常见的三大直线系方程：与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.2.已知直线l1：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk0，分别求满足下列条件的k的值：(1)l1，l2，l3相交于一点；(2)l1，l2，l3围成三角形解：(1)直线l1，l2的方程联立得，解得，即直线l1，l2的交点为P(1，2)又点P在直线l3上，所以12kk0，解得k.(2)由(1)知k.当直线l3与l1，l2均相交时，有，解得k且k1，综上可得k，且k，且k1._距离公式(高频考点)_距离公式包括两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离在高考中经常毁灭，试题难度不大，多为简洁题或中档题高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度：(1)求距离；(2)已知距离求参数值；(3)已知距离求点的坐标(1)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_(2)若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则c的值是_解析(1)由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解之得，0a10，所以a的取值范围是0，10(2)依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，因此c2或6.答案(1)0，10(2)2或6规律方法距离的求法：(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要留意此时直线方程必需为一般式(2)两平行直线间的距离利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式3.(1)平行于直线3x4y20，且与它的距离是1的直线方程为_(2)已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2.解析：(1)设所求直线方程为3x4yc0(c2)，则d1，c3或c7，即所求直线方程为3x4y30或3x4y70.答案：3x4y30或3x4y70(2)解：设点P的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立可得或所求点P的坐标为(1，4)或(，)_对称问题_已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解(1)设A(x，y)，由已知解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4，3)又m经过点N(4，3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.在本例条件下，求直线l关于点A(1，2)对称直线l的方程解：直线l与l平行，设l的方程为2x3yc0，由于点到两直线距离相等则，解得c1(舍去)，c9，直线l的方程为2x3y90.规律方法(1)关于中心对称问题的处理方法：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程(2)关于轴对称问题的处理方法：点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种状况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行4.直线x2y30与直线ax4yb0关于点A(1，0)对称，则b_解析：法一：由题知，点A不在直线x2y30上，两直线平行，a2.又点A到两直线距离相等，|b2|4，b6或b2.点A不在直线x2y30上，两直线不能重合，b2.法二：在直线x2y30上任取两点P1(1，1)、P2(3，0)，则P1、P2关于点A的对称点P1、P2都在直线ax4yb0上易知P1(1，1)、P2(1，0)，b2.答案：2交汇创新直线和不等式的交汇(2022高考四川卷)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析直线xmy0与mxym30分别过定点A，B，A(0，0)，B(1，3)当点P与点A(或B)重合时，|PA|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知此两直线垂直，APB为直角三角形，|AP|2|BP|2|AB|210，|PA|PB|5，当且仅当|PA|PB|时，上式等号成立答案5名师点评1.本题是直线与不等式的交汇，把直线问题和基本不等式进行结合，体现了当今数学命题的新动向，其解题思路是利用图形找出关系式|AP|2|BP|2|AB|2，再利用基本不等式求解2直线方程还可以与集合、向量、概率等学问交汇1.(2021湖北八市联考)已知M，N(x，y)|ax2ya0，且MN，则a()A6或2B6C2或6 D2解析：选A.集合M表示去掉一点A(2，3)的直线3xy30，集合N表示恒过定点B(1，0)的直线ax2ya0，由于MN，所以两直线要么平行，要么直线ax2ya0与直线3xy30相交于点A(2，3)因此3或2a6a0，即a6或a2.2将一颗骰子投掷两次，第一次毁灭的点数记为a，其次次毁灭的点数记为b，设两条直线l1：axby2，l2：x2y2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则复数P1P2i所对应的点P与直线l2：x2y2的位置关系是()AP在直线l2上BP在直线l2的左下方CP在直线l2的右上方D无法确定解析：选B.易知当且仅当时两条直线相交，而的状况有三种：a1，b2(此时两条直线重合)，a2，b4(此时两条直线平行)，a3，b6(此时两条直线平行)，而投掷两次的全部状况有36种，所以两条直线相交的概率P21，两条直线平行的概率P1，则P1P2i所对应的点P为(，)，易推断点(，)在直线l2：x2y2的左下方1若直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)ya210垂直，则实数a()A.B1C2 D1或2解析：选A.由a1(a1)20，a.2直线l1的斜率为2，l1l2，直线l2过点(1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A(3，0) B(3，0)C(0，3) D(0，3)解析：选D.l1l2，且l1的斜率为2，l2的斜率为2.又l2过点(1，1)，l2的方程为y12(x1)，整理即得：y2x3，令x0，得y3，P点坐标为(0，3)3(2021广州模拟)直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30解析：选D.由题意得直线x2y10与直线x1的交点坐标为(1，1)又直线x2y10上的点(1，0)关于直线x1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得，即x2y30.4已知过点A(2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10 B2C0 D8解析：选A.l1l2，kAB2.解得m8.又l2l3，(2)1，解得n2，mn10.5若向量a(k2，1)与向量b(b，1)共线，则直线ykxb必经过定点()A(1，2) B(1，2)C(1，2) D(1，2)解析：选A.由于向量a(k2，1)与向量b(b，1)共线，则k2b，即b2k，于是直线方程化为ykxk2，即y2k(x1)，故直线必过定点(1，2)6(2021昆明三中、玉溪一中统考)已知A、B两点分别在两条相互垂直的直线2xy0和xay0上，且线段AB的中点为P(0，)，则线段AB的长为_解析：依题意，a2，P(0，5)，设A(x，2x)、B(2y，y)，故，则A(4，8)、B(4，2)，|AB|10.答案：107已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_解析：由于l1与l2：xy10平行，所以可设l1的方程为xyb0(b1)又由于l1与l2的距离是，所以，解得b1或b3，即l1的方程为xy10或xy30.答案：xy10或xy308设直线l经过点A(1，1)，则当点B(2，1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为_解析：设点B(2，1)到直线l的距离为d，当d|AB|时取得最大值，此时直线l垂直于直线AB，kl，直线l的方程为y1(x1)，即3x2y50.答案：3x2y509已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)l1l2，a(a1)b0.又直线l1过点(3，1)，3ab40.故a2，b2.(2)直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.故a2，b2或a，b2.10已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4，5)关于直线l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程解：设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)kPPkl1，即31.又PP的中点在直线3xy30上，330.由得.(1)把x4，y5代入，得x2，y7，P(4，5)关于直线l的对称点P的坐标为(2，7)(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于直线l对称的直线方程为20，化简得7xy220.1若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A3 B2C3 D4解析：选A.依题意知，AB的中点M的集合为与直线l1：xy70和l2：xy50距离相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M所在直线的方程为l：xym0，依据平行线间的距离公式得|m7|m5|m6，即l：xy60，依据点到直线的距离公式，得中点M到原点的距离的最小值为3.2(2021洛阳统考)已知点P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析：选D.由于点P(x0，y0)不在直线AxByC0上，所以Ax0By0C0，所以直线AxByC(Ax0By0C)0不经过点P，排解A、B；又直线AxByC(Ax0By0C)0与直线l：AxByC0平行，排解C，故选D.3已知点A(1，3)关于直线ykxb对称的点是B(2，1)，则直线ykxb在x轴上的截距是_解析：由题意得线段AB的中点(，2)在直线ykxb上，故，解得k，b，所以直线方程为yx.令y0，即x0，解得x，故直线ykxb在x轴上的截距为.答案：4已知平面上三条直线x2y10，x10，xky0，假如这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的全部取值为_解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k1，故实数k的全部取值为0，1，2.答案：0，1，25已知直线l1：xa2y10和直线l2：(a21)xby30(a，bR)(1)若l1l2，求b的取值范围；(2)若l1l2，求|ab|的最小值解：(1)由于l1l2，所以b(a21)a20，即ba2(a21)a4a2(a2)2，由于a20，所以b0.又由于a213，所以b6.故b的取值范围是(，6)(6，0(2)由于l1l2，所以(a21)a2b0，明显a0，所以aba，|ab|a|2，当且仅当a1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.6(选做题)A，B两个工厂距一条河分别为400 m和100 m，A，B两工厂之间距离500 m，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A，B两工厂用水，要使供水站到A，B两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解：如图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点A(0，400)，点B(a，100)过点B作BCAO于点C.在ABC中，AB500，AC400100300，由勾股定理得BC400，B(400，100)点A(0，400)关于x轴的对称点A(0，400)，由两点式得直线AB的方程为yx400.令y0，得x320，即点P(320，0)故供水站(点P)在距O点320 m处时，到A，B两厂铺设的水管长度之和最短