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双基限时练(十八)
1．设f(x)＝x＋(x<0)，则f(x)的单调减区间为( )
A．(－∞，－2) B．(－2,0)
C．(－∞，－) D．(－，0)
解析 f′(x)＝－＝＝
∵x<0，令f′(x)<0，得－<x<0.故选D.
答案 D
2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．有最大值 D．有最小值
解析 f′(x)＝2－cosx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.
答案 A
3．若函数f(x)＝ax＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．∃a∈R，函数f(x)为奇函数
D．∃a∈R，函数f(x)为偶函数
解析 当a＝1时，函数f(x)在(0,1)上为减函数，A错；当a＝1时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，B错；D选项中的a不存在，故选C.
答案 C
4．函数f(x)＝的单调增区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)，(1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析 函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝()′＝＝>0，
∴f(x)的单调增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
答案 C
5．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 从f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，－1)(1，＋∞)是增函数，在(－1,1)是减函数，
∴当x<－1，或x>1时，f′(x)>0；
当－1<x<1时，f′(x)<0，
∴x·f′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
答案 A
6．下列命题中正确的是________．
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对于任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0；
②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；
③若在(a，b)内的任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；
④若x∈(a，b)，总有f′(x)<0，则在(a，b)内f(x)<0.
解析 ①y＝x3在x∈(－∞，＋∞)为增函数，而y′＝2x2≥0，故①错．②错．③正确．④由f′(x)<0能推断f(x)为减函数，但不能判定f(x)<0.
答案 ③
7．已知导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，请依据图象写出原函数y＝f(x)的递增区间是________．
解析 从图象可知f′(x)>0的解为－1<x<2或x>5，
即f(x)的递增区间为(－1,2)，(5，＋∞)．
答案 (－1,2)，(5，＋∞)
8．函数f(x)＝lnx－x2的单调增区间是________．
解析 函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－x＝，
令f′(x)>0，即>0，解得0<x<1，
∴f(x)在(0,1)上为增函数．
答案 (0,1)
9．函数f(x)＝，若a＝f(3)，b＝f(4)， c＝f(5)，则a，b，c的大小关系是________．
解析 ∵f′(x)＝，∴当x>e时，f′(x)<0，即f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
答案 a>b>c
10．求证：函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证明 证法1：设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵1<x1<x2，
∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，x－1>0，x－1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1) >f(x2)．
∴f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证法2：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
∵x∈(1，＋∞)，∴f′(x)<0.
∴f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
11．若函数f(x)＝x3－ax2＋ (a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
解 函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1>1即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)<0，当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.
∴4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.
∴a的取值范围是．
12．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2，若a＝0，求f(x)的单调区间．
解 当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)的单调减区间是(－∞，0)，
单调增区间是(0，＋∞)．
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