资源描述
本册综合测试题(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022～2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)若集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a<1
C．a≥1 D．a≤2
[答案] A
[解析] 将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．
∵A⊆B，∴a≤1.
2．(2022～2021学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数g(x)＝2x＋5x的零点所在的一个区间是( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(1,2) D．(－2，－1)
[答案] B
[解析] g(－1)＝－5<0，g(0)＝20＝1>0，故选B．
3．已知f(x2)＝lnx，则f(3)的值是( )
A．ln3 B．ln8
C．ln3 D．－3ln2
[答案] C
[解析] 设x2＝t，∵x>0，x＝，
∴f(t)＝ln＝lnt，
∴f(x)＝lnx，∴f(3)＝ln3.
4．(2022～2021学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)设f(x)是定义在R上的偶函数，且x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＝( )
A．－5 B．5
C．3 D．－3
[答案] B
[解析] ∵x>0时，f(x)＝x2＋1，∴f(2)＝5.
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝5.
5．若m＝(2＋)－1，n＝(2－)－1，则(m＋1)－2＋(n＋1)－2的值是( )
A．1 B．
C． D．
[答案] D
[解析] ∵m＝(2＋)－1＝2－，
n＝(2－)－1＝2＋.
∴(m＋1)－2＋(n＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2
＝＝＝.
6．函数f(x)＝的定义域是( )
A．{x|2<x<3} B．{x|x<2或x>3}
C．{x|x≤2或x≥3} D．{x|x<2或x≥3}
[答案] D
[解析] 解法一：验证排解法：x＝3时，函数f(x)有意义，排解A、B；x＝2时，函数f(x)无意义，排解C，故选D．
解法二：要使函数有意义，应满足，解得x<2或x≥3，故选D．
7．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：
已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．
依据已知信息，题中二次函数图象不具有的性质是( )
A．过点(3,0)
B．顶点(2，－2)
C．在x轴上截线段长是2
D．与y轴交点是(0,3)
[答案] B
[解析] ∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1,0)，
∴1＋b＋c＝0，又二次函数的图象关于直线x＝2对称，
∴b＝－4，∴c＝3.
∴y＝x2－4x＋3，其顶点坐标为(2，－1)，故选B．
8．(2021·山东文，3)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是( )
A．a<b<c B．a<c<b
C．b<a<c D．b<c<a
[答案] C
[解析] ∵c＝1.50.6＞1,0＜b＝0.61.5＜0.60.6＝a＜1，∴b＜a＜c.
9．(2022～2021学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)若lga＋lgb＝0(a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象( )
A．关于直线y＝x对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于原点对称
[答案] C
[解析] ∵lga＋lgb＝0，∴lgab＝0，∴ab＝1，∴b＝.
∴f(x)＝ax与g(x)＝bx＝x的图象关于y轴对称．
10．函数f(x)＝log(－x2＋1)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－1,0] D．[0,1)
[答案] C
[解析] 由－x2＋1>0，得－1<x<1.
令u＝－x2＋1(－1<x<1)的单调递增区间为(－1,0]，
又y＝logu为增函数，
∴函数f(x)的单调递增区间为(－1,0]．
11．(2021·山东理，10)设函数f(x)＝，
则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A．[，1] B．[0,1]
C．[，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 由f(f(a))＝2f(a)可得f(a)≥1，故有或，二者取并集即得a的取值范围是，故选C．
12．已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝0.1x2－11x＋3 000，每台产品的售价为25万元，则生产者为获得最大利润，产量x应定为( )
A．55台 B．120台
C．150台 D．180台
[答案] D
[解析] 设利润为S，由题意得，
S＝25x－y＝25x－0.1x2＋11x－3 000
＝－0.1x2＋36x－3 000＝－0.1 (x－180)2＋240，
∴当产量x＝180台时，生产者获得最大利润，故选D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2022～2021学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)已知f(x)＝＋(3x＋1)0，则函数f(x)的定义域为________________．
[答案] ∪
[解析] 由题意，得，
∴x<2，且x≠－，故函数f(x)的定义域为∪.
14．(2022～2021学年度重庆南开中学高一上学期期中测试)已知f(x)＝，则f[f(2)]＝____.
[答案] 2
[解析] f(2)＝－4＋3＝1，f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
∴f[f(2)]＝f(－1)＝2.
15．(2022～2021学年度重庆一中高一上学期期中测试)函数y＝x2＋1，x∈[－1,2]的值域为__________．
[答案] [1,5]
[解析] ∵x∈[－1,2]，
∴当x＝0时，ymin＝1，当x＝2时，ymax＝5.
∴函数y＝x2＋1，x∈[－1,2]的值域为[1,5]．
16．设M、N是非空集合，定义M⊙N＝{x|x∈M∪N且x∉M∩N}．已知M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝2x，x>0}，则M⊙N等于________．
[答案] {x|0≤x≤1或x>2}
[解析] ∵M＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，
N＝{y|y>1}，
∴M∩N＝{x|1<y≤2}，M∪N＝{x|x≥0}，
∴M⊙N＝{x|0≤x≤1或x>2}．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2022～2021学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知非空集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|x≤1或x≥2}，且A∩B＝A，求实数a的取值范围．
[解析] ∵A∩B＝A，∴A⊆B．
∴当A＝∅时，2a－2≥a，∴a≥2.
当A≠∅时，由题意得或，
解得a≤1.
综上可知，实数a的取值范围是a≤1或a≥2.
18．(本小题满分12分)(2022～2021学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)计算下列各式的值：
(1)－(－9.6)0－＋(1.5)2＋(×)4；
(2)lg25＋lg2×lg500－lg－log29×log32.
[解析] (1) －(－9.6)0－＋(1.5)2＋(×)4＝－(－9.6)0－＋2＋4
＝－1－＋＋12＝.
(2)lg25＋lg2×lg500－lg－log29×log32
＝lg25＋lg2(2＋lg5)－lg－×
＝lg5(lg2＋lg5)＋lg4＋lg5－2
＝lg100－2＝2－2＝0.
19．(本小题满分12分)(2022～2021学年度河南省试验中学高一月考)已知二次函数f(x)＝2kx2－2x－3k－2，x∈[－5,5]．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数k的取值范围，使函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
[解析] (1)当k＝1时，
f(x)＝2x2－2x－5＝22－，
∵x∈[－5,5]，∴当x＝时，f(x)min＝－，
当x＝－5时，f(x)max＝55.
(2)当k＝0时，f(x)＝－2x－2在区间[－5,5]上是减函数，当k≠0时，由题意得≥5或≤－5，
∴0<k≤或－≤k<0.
综上可知，实数k的取值范围是.
20．(本小题满分12分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收入最大？最大月收入是多少元？
[解析] (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以能租出100－12＝88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x(x为50的整数倍)元时，租赁公司的月收入为y元，则y＝·(x－150)－×50＝－x2＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.所以当x＝4 050时，ymax＝307 050.故当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收入最大，最大月收入为307 050元．
21．(本小题满分12分)(2022～2021学年度河南省试验中学高一月考)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)已知f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围；
(3)证明：f＝f(x)－f(y)．
[解析] (1)令x＝y＝1，
则f(1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)∵f(xy)＝f(x)＋f(y), f(3)＝1，
∴f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
∴f(a)>f(a－1)＋2化为f(a)>f(a－1)＋f(9)＝f(9a－9)，
由题意得， 解得1<a<.
(3)∵f(x)＝f＝f＋f(y)，
∴f＝f(x)－f(y)．
22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝lg(mx－2x)(0<m<1)．
(1)当m＝时，求f(x)的定义域；
(2)试推断函数f(x)在区间(－∞，0)上的单调性并给出证明；
(3)若f(x)在(－∞，－1]上恒取正值，求m的取值范围．
[解析] (1)当m＝时，要使f(x)有意义，须()x－2x>0，即2－x>2x，可得：－x>x，∴x<0
∴函数f(x)的定义域为{x|x<0}．
(2)设x2<0，x1<0，且x2>x1，则Δ＝x2－x1>0
令g(x)＝mx－2x，
则g(x2)－g(x1)＝m x2－2 x2－m x1＋2 x1
＝m x2－mx1＋2 x1－2 x2
∵0<m<1，x1<x2<0，
∴m x2－m x1<0,2 x1－2 x2<0
g(x2)－g(x1)<0，∴g(x2)<g(x1)
∴lg[g(x2)]<lg[g(x1)]，
∴Δy＝lg(g(x2))－lg(g(x1))<0，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．
(3)由(2)知：f(x)在(－∞，0)上是减函数，
∴f(x)在(－∞，－1]上也为减函数，
∴f(x)在(－∞，－1]上的最小值为f(－1)＝lg(m－1－2－1)
所以要使f(x)在(－∞，－1]上恒取正值，
只需f(－1)＝lg(m－1－2－1)>0，
即m－1－2－1>1，∴>1＋＝，
∵0<m<1，∴0<m<.
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