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揭阳一中2022-2021学年度高二级第一学期期中考试
（理科）数学试卷
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．
1．不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）.
A． B． C． D．
3．已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ）
（第5题）
A． B． C． D．
4．在中，，则等于（ ）
A． B．或 C． D．
5．—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，则该几何体的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
6．下列结论正确的是（ ）
A．当且时，≥ B．当时，≥
C．当≥时，的最小值为 D．当≤时，无最大值
7．已知等比数列的各项均为正数，公比，记，，则P与Q大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．若函数与的图象有交点，则的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
二、填空题:(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上).
9.不等式的解集为
10．函数的最大值是
11.已知正数满足，则的最小值为
12.已知数列，则数列的通项为
13. 假如直线 与圆：交于两点，且，为坐标原点，则
14. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_________
三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤)
15.（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）当为何值时, 取得最小值.
16.（本题满分12分）在中，分别为角所对的边长，已知的周长为，，且的面积为.
（1）求边的长；
（2）求的值．
17．（本小题满分14分）四棱锥 中，底面是正方形，，垂足为点，，点分别是的中点.
（1） 求证：；
（2） 求证：；
（3） 求四周体的体积.
18. （本小题满分14分）某公司方案在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量格外大，有多少就能销售多少，因此该公司要依据实际状况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大. 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资 金[Z。xx。
单位产品所需资金（百元）
月资金供应量
（百元）
空调机
洗衣机
成 本
30
20
300
劳动力（工资）
5
10
110
单位利润
6
8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?
19．（本小题满分14分）已知圆，直线，直线与圆交于两点，点的坐标为，且满足.
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的取值范围．
20. （本小题满分14分）
已知向量，其中，，把其中所满足的关系式记为，且函数为奇函数.
(1)求函数的表达式；
(2)已知数列的各项都是正数，为数列的前项和，且对于任意，都有“数列的前项和”等于，求数列的首项和通项公式；
(3)若数列满足，求数列的最小值.
揭阳一中2022-2021学年度高二级第一学期期中考试
（理科）数学试卷参考答案
一、选择题
1.A 2. C 3.B 4.B 5. C 6. B 7. A 8. D
二、填空题
11. 12. 2 13.
14. 15. 16.
三、解答题
15．解: （1） ，
………………………2分
解得. ………………………4分
． ………………………-6分
（2）…………………………………8分
……………………10分
Ｎ, 当或时, 取得最小值. ……………………12分
16．解: （1）由于的周长为，所以．………1分
又，由正弦定理得．……………2分
两式相减，得．…………………………………………………………………3分
（2）由于的面积，得，…………5分
由余弦定理得……………………………………………7分
，………………………9分
又，所以．…………………………11分
故…………………………………………12分
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另解：由（1）得，又，
所以…………………………………………………………………6分
在中，作于，则，………………………………8分
所以……………………………………………………………10分
故……………………………………12分
17．证明：（1）连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO.
∵点O，M分别是BD，PD的中点
∴MO//PB，………… 2分
又PB面ACM，MO面ACM
∴PB//面ACM. …………4分
（2）∵PA⊥面ABCD ∴PA⊥BD …………5分
∵底面ABCD是正方形
∴AC⊥BD …………6分
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥面PAC …………7分
在⊿PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点∴MN//BD …………8分
∴MN⊥面PAC …………9分
（3）∵，且 …………11分
∴…………14分
18．解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，
则P=6x+8y，………… 2分
约束条件为 …………6分
可行域如图所示：
可化为，可看作一组斜率为的直线，
由图知直线y=－x+P过点M时，纵截距最大这时P也取最大值，…10分
由 解得…………12分
Pmax=6×4+8×9=96（百元）
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润96百元…14分
19．解：（1）圆的方程可化为，故圆心为，半径....2分
当时，点在圆上，又，故直线过圆心，∴………4分
从而所求直线的方程为 …………………………6分
（2）设由得
即
∴ ① …………………8分
联立得方程组，化简，整理得
………….(*)
由判别式得且有………………10分
代入 ①式整理得,从而，又
∴可得k的取值范围是……14分
20. (Ⅰ) ,
……………………2分
由于函数为奇函数.所以, ……………………3分
(Ⅱ)由题意可知,…①
由①可得……………4分
………②
由①-②可得:……5分
为正数数列…..③……④
由③-④可得: ,,为公差为1的等差数列……7分
……8分
(Ⅲ) ,
令,……9分
(1)当时,数列的最小值为当时,……10分
(2)当时
①若时, 数列的最小值为当时,……11分
②若时, 数列的最小值为, 当时或
……12分
③若时, 数列的最小值为,当时,
……13分
④若时,数列的最小值为,当时 ……14分
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