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第九周数学综合练习2022-4-16
一、选择题
1. 若，则等于( )
A． B．
C． D．
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3．函数f(x)＝2x4－3x2＋1在区间[，2]上的最大值和最小值分别是( )
A．21，－ B．1，－
C．21,0 D．0，－
4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数
6. 直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则b的值为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．1
7. 如图所示为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象，则x＋x的值是( )
A. B.
C. D.
8．设函数y＝xsinx＋cosx的图象上的点(x，y)处的切线斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为( )
9.设是抛物线的焦点，点是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为 .
A． B．
C． D．4
10．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则必有( )
A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
二、填空题
11．设中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是
12．已知圆(圆心为点)及点,为圆上一点,的垂直平分线交于,则点的轨迹方程是
13．已知曲线y＝x2－1与y＝1＋x3在x＝x0处的切线相互垂直，则x0的值为 ．
14．已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为________．
15．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)
①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；
③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.
三、解答题
16．求下列函数的导数：
(1)y＝(1－)(1＋)；(2)y＝；
(3)y＝xex；(4)y＝tanx.
17．求长短轴之比为3∶2，一个焦点是(0,-2)，中心在原点的椭圆的标准方程．
18．已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y＝f(x)的极大值．
19.设函数为奇函数，其图像在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
(1)求的值
(2)求函数的单调递增区间．
(3)求函数在上的最大值和最小值．
20．已知函数f(x)＝xlnx.
(1)求f(x)的最小值；
(2)争辩关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．
21．如图，在直角坐标系xOy中有始终角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝1，以A，B为焦点的椭圆经过点C.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点E(0,1)，问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|＝|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．
第九周数学综合练习参考答案2022-4-16
一、选择题
1. 答案: D
2.解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
答案：C
3.答案：A
4.解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即：a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.
∴a≤3，故amax＝3.
答案：D
5.解析：由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，
即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
答案：C
6. 解析：设切点的坐标为，依题意，对于曲线y＝－x＋ln x，有y′＝－＋，所以－＋＝，得a＝1.又切点 在直线y＝x＋b上，故－＝＋b，得b＝－1.
答案：B
7. 解析：由图象可知，函数图象与x轴交于三点，(－1,0)，(0,0)，(2,0)，故该函数有三个零点－1,0,2.
由f(0)＝0，得d＝0，故函数解析式可化为f(x)＝x3＋bx2＋cx＝x(x2＋bx＋c)，明显－1,2为方程x2＋bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系，得解得故f(x)＝x3－x2－2x.
由图象可知，x1，x2为函数f(x)的两个极值点，
又f′(x)＝3x2－2x－2，
故x1，x2为f′(x)＝0，即3x2－2x－2＝0的两根，
故x1＋x2＝，x1·x2＝－.
故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝2－2×＝.
答案: D
8.解析：k＝g(x)＝y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，故函数k＝g(x)为奇函数，排解A、C；又当x∈(0，)时，g(x)>0.
答案：B
9. 答案：A
10.解析：∵xf′(x)＋f(x)≤0，
又f(x)≥0，∴xf′(x)≤－f(x)≤0，
设y＝，则y′＝≤0，
故y＝为减函数或常函数．
又a<b，∴≥，
而a，b>0，则af(b)≤bf(a)．
答案：A
二、填空题
11． 12．
13.解：对于y＝x2－1，有y′＝x，k1＝y′|x＝x0＝x0；
对于y＝1＋x3，有y′＝3x2，k2＝y′|x＝x0＝3x.
又k1k2＝－1，则x＝－1，x0＝－1.
14.解析：依题意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x＝－1的距离，结合图形不难得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.
答案：4
15.解析：对于①，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，x∈(0，)时，
f″(x)<0恒成立；
对于②，f″(x)＝－，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；
对于③，f″(x)＝－6x，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；
对于④，f″(x)＝(2＋x)·ex在x∈(0，)时f″(x)>0恒成立，
所以f(x)＝xex不是凸函数．
答案：④
三、解答题
16.解：(1) ∵ y＝(1－)(1＋)＝－
(2) y′＝()′＝＝＝.
(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．
(4)y′＝()′＝＝＝.
17．解: ∵椭圆的中心在原点, 一个焦点是(0,-2)，
于是设椭圆的标准方程为
由己知得： 且 解得
故标准方程为
18.解：(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－b，
∴由题意可知：f′(1)＝－4且f(1)＝－，
即解得
∴f(x)＝x3－x2－3x，
f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
由此可知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
微小值
↗
∴当x＝－1时，f(x)取极大值.
19．解：(1)为奇函数，∴， ∴
的最小值为，∴．
又直线的斜率为，，解得．
故．
(2)，∴，
令 得：
∴函数的单调递增区间为，.
(3)令得，故当变化时，，的变化状况如下表：
-
0
+
微小值
由于，
所以当时，取得最小值当时，取得最大值为18．
20.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化状况如下：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
微小值
↗
所以，f(x)在(0，＋∞)上最小值是f＝－.
(2)当x∈时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；
当x∈时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.
下面争辩f(x)－m＝0的解：
当m<－时，原方程无解；
当m＝－或m≥0时，原方程有唯一解；
当－<m<0时，原方程有两个解．
21.解：(1)连接AC，依题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5.
∴CA＋CB＝5＋3＝2a，a＝4.
又2c＝4，∴c＝2，从而b＝＝2，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，当l与x轴垂直时，不满足|ME|＝|NE|，当l与x轴平行时，|ME|＝|NE|明显成立，此时k＝0.
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
由，消去y得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0，
∵Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－48)>0，
∴16k2＋12>m2，①
令M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为F(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
∵|ME|＝|NE|，∴EF⊥MN，∴kEF×k＝－1，
即×k＝－1，化简得m＝－(4k2＋3)，
结合①得16k2＋12>(4k2＋3)2，即16k4＋8k2－3<0，
解之得－<k<(k≠0)．
综上所述，存在满足条件的直线l，且其斜率k的取值范围为(－，)．
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