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综合学习与测试(一)
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分)
1．以下四个命题，推断正确的是 ( )
(1)原命题：若一个自然数的末位数字为零，则这个自然数能被5整除．
(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为零．
(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为零，则这个自然数不能被5整除．
(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数末位数字不为零．
A.(1)与(3)为真，(2)与(4)为假 B.(1)与(2)为真，(3)与(4)为假
C.(1)与(4)为真，(2)与(3)为假 D.(1)与(4)为假，(2)与(3)为真
2．若a，b∈R,且a2+b2≠0，则
(1)a、b全为零； (2)a、b不全为零；
(3)a、b全不为零； (4)a、b至少有一个不为零，
其中真命题的个数为 ( )
A.0 B. 1 C.2 D.3
3．设命题p：已知a、b为实数，若a+b是无理数．则a是无理数或b是无理数．则下列结论中正确的是 ( )
A.p为真命题 B．p的逆命题为真命题
C.p的否命题为真命题 D. p的逆否命题为假命题
4．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5.若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距
离是（ ）
A．6 B．2 C．8 D．4
6. 对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”充要条件；
②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是（ ）
A．4 B．194 C．94 D．14
8.下列命题是真命题的是 ( )
A“a(a-b)≤0”是“≥1”的必要条件
B“x∈{1，2}”是“=0”的充分条件
C“A∩B≠”是“AB”的充分条件
D“x>5”是“x>2”的必要条件
9.抛物线的准线方程是 （ ）
A B.y＝2 C. D.y=4
10.双曲线的渐近线方程是（ ）
A B. C. D.
二,填空题:(每小题5分,共20分)
11．命题: 若a、b都是偶数，则a+b是偶数. 其逆否命题为_______________.
12．下列命题: ①5³5 ②5>1且1<2 ③3>4或3<4 ④. x,yÎR. “若x2+y2=0，则x,y全为0”的否命题 ⑤“全等三角形是相像三角形”的逆命题 ⑥若ac2>bc2，则a>b. 其中假命题的序号是_______________.
13．当a+b=10, c=2时的椭圆的标准方程是 .
14．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，则线段PP’的中点M的轨迹方程为 .
三、解答题：
15．（本小题满分5分）求经过点P（―3，2）
和Q（―6，―7）且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程。
16．(本小题5分)求一条渐近线方程是，一个焦点是的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．
17. (本小题15分)过椭圆引两条切线PA、PB、A、B为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点．
（1）若，求P点坐标；(5分)
（2）求直线AB的方程（用表示）；(5分)
（3）求△MON面积的最小值．（O为原点）(5分)
18．(本小题10分)已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．
（1）求｜MF｜+｜NF｜的值；
（2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.
19．(本小题15分)如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方
（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
参考答案:
一,选择题:
1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7.D 8.A 9.A 10.C
二,填空题:
11．若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数； 12．⑤⑥；
13、 14、
三解答题:
15. 解：依题意，设双曲线方程为Ax2－By2=1（AB＞0）
∵双曲线过点P（―3，2）和Q（―6，―7）
∴
解得：A=－ B=－
故双曲线方程为
16. 解：设双曲线方程为：，∵双曲线有一个焦点为（4，0），
双曲线方程化为：，
∴双曲线方程为： ∴．
17．解：（1） ∴OAPB的正方形
由 ∴P点坐标为（）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
则PA、PB的方程分别为，而PA、PB交于P（x0，y0）
即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，∴AB的直线方程为：x0x+y0y=4
（3）由、
当且仅当.
18．解：（1）F（a,0）,设由
，， （2）假设存在a值，使的成等差数列，即
①，∵P是圆A上两点M、N 所在弦的中点，∴
由①得，这是不行能的．
∴假设不成立．即不存在a值，使的成等差数列．
19． 【解】(1) 解方程组 得 或
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB==,直线AB的垂直平分线方程
y－1=(x－2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).∵点P到直线OQ的距离
d==,,∴SΔOPQ==.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.
∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30．
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