2022届-数学一轮(理科)人教A版-第五章-平面向量-5-3.docx

第3讲 平面对量的数量积

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝ (　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析　(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2×1×1×cos 60°－12＝0，故选B.
答案　B
2．(2022·大纲全国卷)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝ (　　)
A．2 B. C．1 D.
解析　由题意得⇒－2a2＋b2＝0，即－2|a|2＋|b|2＝0，又|a|＝1，∴|b|＝.故选B.
答案　B
3．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于 (　　)
A．1 B．－1 C. D.
解析　设a与b的夹角为θ.由|a·b|＝|a||b|，
得|cos θ|＝1，所以向量a与b共线，
则sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x.
又x∈(0，π)，所以2cos x＝2sin x，即tan x＝1.
答案　A

4．(2021·银川质量检测)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若·＝，则·的值是 (　　)
A. B．2
C．0 D．1
解析　依题意得·＝(＋)·(－)＝·－2＋·－·＝－2＋1×2－0＝，故选A.
答案　A
5．(2022·四川卷)平面对量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝ (　　)．
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析　a＝(1，2)，b＝(4，2)，则c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
∵c与a的夹角等于c与b的夹角，
∴＝，∴＝，解得m＝2.
答案　D
二、填空题
6．(2022·上海八校联合调研)向量a＝(3，4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．
解析　依题意得a·b＝－1，|b|＝，因此向量a在向量b方向上的投影为＝－.
答案　－
7．(2022·云南统一检测)已知平面对量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝________．
解析　由题意可得a·b＝|a|·|b|cos ＝3，所以|2a－3b|＝＝＝＝.
答案　
8．(2022·江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．
解析　由于a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cos β＝＝＝.
答案　
三、解答题
9．已知平面对量a＝(，－1)，b＝.
(1)证明：a⊥b；
(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．
(1)证明　∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
(2)解　∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，
∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)
＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.
又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，
∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，
∴k＝f(t)＝(t≠0)．
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.
(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2022·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面对量，则 (　　)
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
解析　对于min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A，B均错；而|a＋b|，|a－b|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，因此选D.
答案　D
12．(2021·合肥质量检测)在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必通过△ABC的 (　　)
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
解析　假设BC的中点是O.则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选C.
答案　C
13．(2022·东北三省四市联考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为(3，a)，a∈R，点P满足＝λ，λ∈R，||·||＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．
解析　点A的坐标为(3，a)，则||≥3，又＝λ，则O，P，A三点共线，||||＝72，故||＝.设OP与x轴夹角为θ，则OP在x轴上的投影长度为||cos θ＝||＝≤24，即线段OP在x轴上的投影长度的最大值为24.
答案　24
14．已知平面上三点A，B，C，＝(2－k，3)，＝(2，4)．
(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．
解　(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同始终线上，即向量与平行，
∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.
(2)∵＝(2－k，3)，∴＝(k－2，－3)，
∴＝＋＝(k，1)．若△ABC为直角三角形，
则当A是直角时，⊥，即·＝0，
∴2k＋4＝0，解得k＝－2；
当B是直角时，⊥，即·＝0，
∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；
当C是直角时，⊥，即·＝0，∴16－2k＝0，
解得k＝8.综上得k的值为－2，－1，3，8.