资源描述
[基础达标]
1．函数y＝3x与y＝－3－x的图象关于________对称( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．原点
解析：选D．由y＝－3－x，得－y＝3－x，(x，y)→(－x，－y)，即关于原点中心对称．
2．函数y＝的值域是( )
A．(0，＋∞) B．(0，1)
C．(0，1] D．[1，＋∞)
解析：选C．∵x2≥0，∴≤1，即值域是(0，1]．
3．函数y＝的图象大致是( )
解析：选B．当x＜0时，函数的图象是抛物线，当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B．
4．(2022·东北三校联考)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选A．构造指数函数y＝(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b＜c；又y＝(x∈R)与y＝(x∈R)之间有如下结论：当x＞0时，有＞，故＞，∴a＞c，故a＞c＞B．
5．方程＋＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－2)
C．(－3，－2) D．(－3，0)
解析：选D．令t＝，由于方程有正根，所以t∈(0，1)，则方程可转化为t2＋2t＋a＝0，所以a＝1－(t＋1)2.由于t∈(0，1)，所以a∈(－3，0)．
6.×＋8×－＝________．
解析：原式＝×1＋2×2－＝2.
答案：2
7．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析：∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．
函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)＞f(n)，得m＞n.
答案：m＞n
8．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x＜0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)＞g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
答案：0
9．已知f(x)＝|2x－1|，求函数f(x)的单调区间．
解：由f(x)＝|2x－1|
＝
可作出函数的图象如图．因此函数f(x)在(－∞，0)上递减；函数f(x)在[0，＋∞)上递增．
10．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝；(2)y＝ .
解：(1)明显定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
且y＝为减函数．
∴≥＝.
故函数y＝的值域为.
(2)由32x－1－≥0，得32x－1≥＝3－2，
∵y＝3x为增函数，∴2x－1≥－2，即x≥－，
此函数的定义域为，
由上可知32x－1－≥0，∴y≥0.
即函数的值域为[0，＋∞)．
[力气提升]
1．(2022·浙江绍兴一中月考)函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)＞f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)＜f(1) D．不能确定
解析：选A．由题意知a＞1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由单调性知a3＞a2，∴f(－4)＞f(1)．
2．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝B．
其中不行能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：
选B．函数y1＝与y2＝的图象如图所示．
由＝得a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
故①②⑤可能成立，③④不行能成立．
3．已知函数f(x)＝ln(1－)的定义域是(1，＋∞)，则实数a的值为________．
解析：由题意得，不等式1－＞0的解集是(1，＋∞)，由1－＞0，可得2x＞a，故x＞log2a，由log2a＝1，得a＝2.
答案：2
4．(2022·皖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a＞0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出全部真命题的编号)
①函数f(x)的图象关于原点对称；
②函数f(x)在R上不具有单调性；
③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；
④当0＜a＜1时，函数f(|x|)的最大值是0；
⑤当a＞1时，函数f(|x|)的最大值是0.
解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①对；当a＞1时，f(x)在R上为增函数，当0＜a＜1时，f(x)在R上为减函数，②错；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，③对；当0＜a＜1时，y＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，④对；当a＞1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤错．综上，真命题是①③④.
答案：①③④
5．已知f(x)＝(ax－a－x)(a＞0且a≠1)．
(1)推断f(x)的奇偶性；
(2)争辩f(x)的单调性；
(3)当x∈[－1，1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
又由于f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)当a＞1时，a2－1＞0，
y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，
从而y＝ax－a－x为增函数．
所以f(x)为增函数．
当0＜a＜1时，a2－1＜0，
y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，
从而y＝ax－a－x为减函数．
所以f(x)为增函数．
故当a＞0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
所以在区间[－1，1]上为增函数．
所以f(－1)≤f(x)≤f(1)．
所以f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝·＝－1.
所以要使f(x)≥b在[－1，1]上恒成立，则只需b≤－1.故b的取值范围是(－∞，－1]．
6．(选做题)设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)若f(1)＞0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1.
(1)∵f(1)＞0，∴a－＞0，
又a＞0且a≠1，∴a＞1，f(x)＝ax－a－x，
∵f′(x)＝axln a＋a－x ln a＝(ax＋a－x)ln a＞0，
∴f(x)在R上为增函数．
原不等式可化为f(x2＋2x)＞f(4－x)，
∴x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0，
∴x＞1或x＜－4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜－4}．
(2)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0，
∴a＝2或a＝－(舍去)，
∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)
＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.
令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，
则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，
即t(x)≥t(1)＝，
∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，
∴当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋)．
即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.
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