2020-2021学年人教A版数学选修2-3课后练习：模块综合问题选讲(二).docx

专题 模块综合问题选讲(二) 课后练习
主讲老师：纪荣强 北京四中数学老师

题一： 先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是(　　)
A. B.
C. D.
题二： 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
题三： 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和.
(1)求X的分布列.
(2)求X的数学期望E(X).

题四： 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
题五： 口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，假如取到红球，那么连续取球，且取出的红球不放回；假如取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝，求：
(1)n的值；
(2)X的分布列．
题六： 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从今10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．
题七： 设两球队A、B进行友情竞赛，在每局竞赛中A队获胜的概率都是p(0≤p≤1)．
(1)若竞赛6局，且p＝，求其中A队至多获胜4局的概率是多少？
(2)若竞赛6局，求A队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？
(3)若接受“五局三胜”制，求A队获胜时的竞赛局数ξ的分布列和数学期望．
题八： 高二下学期，学校方案为同学们供应A、B、C、D四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制，不允很多选，也不允许不选)．
(1)求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率；
(2)求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；
(3)求3位同学中，选择选修课程A的人数ξ的分布列与数学期望．
题九： 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．
(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．
题十： 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．依据历年的种植阅历，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

专题 模块综合问题选讲(二)
课后练习参考答案
题一： D.
详解： 至少一次正面朝上的对立大事的概率为，故P＝1－＝.

题二： D.
详解：目标被击中的对立大事为两人都击不中，而两人都击不中的概率为×，所以所求大事的概率为1－×＝.

题三：
(1)分布列为：
X
3
4
5
6
P

(2)期望为.
详解： (1)X=3，4，5，6，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
3
4
5
6
P

(2)X的数学期望E(X)=.

题四： (1) .
(2)分布列是
X
1
2
3
4
P

随机变量X的数学期望.

详解：
(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为大事A，则P(A)＝＝.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的全部可能取值为1，2，3，4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列是
X
1
2
3
4
P

随机变量X的数学期望EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

题五： (1) n＝7.
(2)分布列为
X
1
2
3
4
P

详解： (1)由P(X＝2)＝知＝，
∴90n＝7(n＋2)(n＋3)．
∴n＝7.
(2)X＝1，2，3，4，
且P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
4
P

题六： (1) .
(2)分布列为：
X
0
10
20
50
60
P

详解：(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P＝＝＝
(2)依题意可知，X的全部可能取值为0，10，20，50，60(元)，且P(X＝0)＝＝；
P(X＝10)＝＝；
P(X＝20)＝＝；
P(X＝50)＝＝；
P(X＝60)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
10
20
50
60
P

题七： (1) . (2) .
(3)ξ的分布列为：
ξ
3
4
5
P
p3
3p3(1－p)
6p3(1－p)2
E(ξ)＝3p3(10p2－24p＋15)．

详解：(1)设“竞赛6局，A队至多获胜4局”为大事A，
则P(A)＝1－[P6(5)＋P6(6)]
＝1－＝1－＝.
∴A队至多获胜4局的概率为.
(2)设“若竞赛6局，A队恰好获胜3局”为大事B，则P(B)＝p3(1－p)3.
当p＝0或p＝1时，明显有P(B)＝0.
当0<p<1时，P(B)＝p3(1－p)3＝20·[p(1－p)]3≤20·3＝20·6＝
当且仅当p＝1－p，即p＝时取等号．
故A队恰好获胜3局的概率的最大值是.
(3)若接受“五局三胜”制，A队获胜时的竞赛局数ξ＝3，4，5.
P(ξ＝3)＝p3，
P(ξ＝4)＝p3(1－p)＝3p3(1－p)
P(ξ＝5)＝p3(1－p)2＝6p3(1－p)2，
所以ξ的分布列为：
ξ
3
4
5
P
p3
3p3(1－p)
6p3(1－p)2

E(ξ)＝3p3(10p2－24p＋15)．

题八：
(1) . (2) .
(3)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

E(ξ)＝.
详解：(1)设3位同学中，从4门课中选3门课选修为大事M，则P(M)＝＝.
(2)设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为大事N，
则P(N)＝＝.
(3)由题意，ξ的取值为0、1、2、3.
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

题九： (1)分布列为
X
0
1
2
3
4
P

(2) Y＝2 300－100X，数学期望为2 100元．
详解：
(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～B.
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
其分布列为
X
0
1
2
3
4
P

(2)∵X～B(4，)，∴E(X)＝4×＝2.
又由题意可知Y＝2 300－100X，
∴E(Y)＝E(2 300－100X)＝2 300－100E(X)＝2 300－100×2＝2 100(元)．
即所求变量Y的数学期望为2 100元．

题十： (1) .
(2)分布列为
Y
51
48
45
42
P

数学期望为46.
详解：
(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随选取一株的不同结果有＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
由于P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1，2，3，4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1，2，3，4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故所求Y的分布列为
Y
51
48
45
42
P

所求的数学期望为
E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.